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Theorem xdivrec

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017)

Ref Expression
Assertion xdivrec ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 /𝑒 𝐵 ) = ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
2 1 rexrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
3 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
4 1xr ⊢ 1 ∈ ℝ*
5 4 a1i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 1 ∈ ℝ* )
6 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → 𝐵 ≠ 0 )
7 5 1 6 xdivcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 /𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* )
8 3 7 xmulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ∈ ℝ* )
9 xmulcom ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 ·e ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ·e 𝐵 ) )
10 2 8 9 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ·e ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ·e 𝐵 ) )
11 xmulass ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ ( 1 /𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ·e 𝐵 ) = ( 𝐴 ·e ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ·e 𝐵 ) ) )
12 3 7 2 11 syl3anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ·e 𝐵 ) = ( 𝐴 ·e ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ·e 𝐵 ) ) )
13 xmulcom ⊢ ( ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ·e 𝐵 ) = ( 𝐵 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) )
14 7 2 13 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ·e 𝐵 ) = ( 𝐵 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) )
15 eqid ⊢ ( 1 /𝑒 𝐵 ) = ( 1 /𝑒 𝐵 )
16 xdivmul ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ* ∧ ( 1 /𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) = ( 1 /𝑒 𝐵 ) ↔ ( 𝐵 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) = 1 ) )
17 5 7 1 6 16 syl112anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) = ( 1 /𝑒 𝐵 ) ↔ ( 𝐵 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) = 1 ) )
18 15 17 mpbii ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) = 1 )
19 14 18 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ·e 𝐵 ) = 1 )
20 19 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ·e ( ( 1 /𝑒 𝐵 ) ·e 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ·e 1 ) )
21 10 12 20 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ·e ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ) = ( 𝐴 ·e 1 ) )
22 xmulid1 ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐴 ·e 1 ) = 𝐴 )
23 3 22 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ·e 1 ) = 𝐴 )
24 21 23 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ·e ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ) = 𝐴 )
25 xdivmul ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 /𝑒 𝐵 ) = ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐵 ·e ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ) = 𝐴 ) )
26 3 8 1 6 25 syl112anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 /𝑒 𝐵 ) = ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐵 ·e ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) ) = 𝐴 ) )
27 24 26 mpbird ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 /𝑒 𝐵 ) = ( 𝐴 ·e ( 1 /𝑒 𝐵 ) ) )