Theorem xrre3

Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by FL, 29-May-2014)

	Ref	Expression
Assertion	xrre3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵 )
2	1	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → -∞ < 𝐵 )
3		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
4		rexr	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ* )
5	4	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
6		simpl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
7		xrltletr	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ) → ( ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) → -∞ < 𝐴 ) )
8	3 5 6 7	mp3an2i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) → -∞ < 𝐴 ) )
9	2 8	mpand	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐴 → -∞ < 𝐴 ) )
10	9	imp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) → -∞ < 𝐴 )
11	10	adantrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) → -∞ < 𝐴 )
12		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) → 𝐴 < +∞ )
13		xrrebnd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐴 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) )
14	13	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) )
15	11 12 14	mpbir2and	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )