Theorem iccsplit 11682

Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccsplit

Proof of Theorem iccsplit

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1038	. . . . . . . . 9
2		simplr2 1039	. . . . . . . . 9
3		simpr1 1002	. . . . . . . . . . 11
4		iccssre 11635	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	sseld 3502	. . . . . . . . . . . . 13
6	5	3impia 1193	. . . . . . . . . . . 12
7	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
8		ltle 9694	. . . . . . . . . . 11
9	3, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
10	9	imp 429	. . . . . . . . 9
11	1, 2, 10	3jca 1176	. . . . . . . 8
12	11	orcd 392	. . . . . . 7
13		simplr1 1038	. . . . . . . . 9
14		simpr 461	. . . . . . . . 9
15		simplr3 1040	. . . . . . . . 9
16	13, 14, 15	3jca 1176	. . . . . . . 8
17	16	olcd 393	. . . . . . 7
18	12, 17, 3, 7	ltlecasei 9713	. . . . . 6
19	18	ex 434	. . . . 5
20		simp1 996	. . . . . . . 8
21	20	a1i 11	. . . . . . 7
22		simp2 997	. . . . . . . 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7
24		elicc2 11618	. . . . . . . . 9
25	20	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11
26		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12
27	26	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
28		simp1r 1021	. . . . . . . . . . 11
29		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12
30	29	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11
31		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12
32	31	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
33	25, 27, 28, 30, 32	letrd 9760	. . . . . . . . . 10
34	33	3exp 1195	. . . . . . . . 9
35	24, 34	sylbid 215	. . . . . . . 8
36	35	3impia 1193	. . . . . . 7
37	21, 23, 36	3jcad 1177	. . . . . 6
38		simp1 996	. . . . . . . 8
39	38	a1i 11	. . . . . . 7
40		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11
41	26	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
42	38	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11
43		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12
44	43	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
45		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12
46	45	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11
47	40, 41, 42, 44, 46	letrd 9760	. . . . . . . . . 10
48	47	3exp 1195	. . . . . . . . 9
49	24, 48	sylbid 215	. . . . . . . 8
50	49	3impia 1193	. . . . . . 7
51		simp3 998	. . . . . . . 8
52	51	a1i 11	. . . . . . 7
53	39, 50, 52	3jcad 1177	. . . . . 6
54	37, 53	jaod 380	. . . . 5
55	19, 54	impbid 191	. . . 4
56		elicc2 11618	. . . . 5
57	56	3adant3 1016	. . . 4
58	5	imdistani 690	. . . . . 6
59	58	3impa 1191	. . . . 5
60		elicc2 11618	. . . . . . 7
61	60	adantlr 714	. . . . . 6
62		elicc2 11618	. . . . . . . 8
63	62	ancoms 453	. . . . . . 7
64	63	adantll 713	. . . . . 6
65	61, 64	orbi12d 709	. . . . 5
66	59, 65	syl 16	. . . 4
67	55, 57, 66	3bitr4d 285	. . 3
68		elun 3644	. . 3
69	67, 68	syl6bbr 263	. 2
70	69	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cicc 11561

This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  21428  volcn  22015  itgspliticc  22243  cvmliftlem10  28739  iblspltprt  31772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-icc 11565