Theorem iinfi 7897

Description: An indexed intersection of elements of is an element of the finite intersections of . (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinfi

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem iinfi

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1002	. . . 4
2		dfiin2g 4363	. . . 4
3	1, 2	syl 16	. . 3
4		eqid 2457	. . . . 5
5	4	rnmpt 5253	. . . 4
6	5	inteqi 4290	. . 3
7	3, 6	syl6eqr 2516	. 2
8	4	fmpt 6052	. . . 4
9	8	3anbi1i 1187	. . 3
10		intrnfi 7896	. . 3
11	9, 10	sylan2b 475	. 2
12	7, 11	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  c0 3784  |^|cint 4286  |^|_ciin 4331  e.cmpt 4510  rancrn 5005  -->wf 5589  `cfv 5593  cfn 7536  cfi 7890

This theorem is referenced by:  firest  14830  iscmet3  21732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-fi 7891