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Theorem 0elsiga

Description: A sigma-algebra contains the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2016)

Ref Expression
Assertion 0elsiga 
|- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isrnsiga 
 |-  ( S e. U. ran sigAlgebra <-> ( S e. _V /\ E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ _om -> U. x e. S ) ) ) ) )
2 1 simprbi 
 |-  ( S e. U. ran sigAlgebra -> E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ _om -> U. x e. S ) ) ) )
3 3simpa 
 |-  ( ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ _om -> U. x e. S ) ) -> ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
4 3 adantl 
 |-  ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ _om -> U. x e. S ) ) ) -> ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
5 4 eximi 
 |-  ( E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ _om -> U. x e. S ) ) ) -> E. o ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
6 difeq2 
 |-  ( x = o -> ( o \ x ) = ( o \ o ) )
7 difid 
 |-  ( o \ o ) = (/)
8 6 7 eqtrdi 
 |-  ( x = o -> ( o \ x ) = (/) )
9 8 eleq1d 
 |-  ( x = o -> ( ( o \ x ) e. S <-> (/) e. S ) )
10 9 rspcva 
 |-  ( ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) -> (/) e. S )
11 10 exlimiv 
 |-  ( E. o ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) -> (/) e. S )
12 2 5 11 3syl 
 |-  ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )