Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
abl1.m |
|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. } |
2 |
1
|
grp1 |
|- ( I e. V -> M e. Grp ) |
3 |
|
eqidd |
|- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) |
4 |
|
oveq1 |
|- ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) ) |
5 |
|
oveq2 |
|- ( a = I -> ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) |
6 |
4 5
|
eqeq12d |
|- ( a = I -> ( ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) |
7 |
6
|
ralbidv |
|- ( a = I -> ( A. b e. { I } ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) <-> A. b e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) |
8 |
7
|
ralsng |
|- ( I e. V -> ( A. a e. { I } A. b e. { I } ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) <-> A. b e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( b = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) |
10 |
|
oveq1 |
|- ( b = I -> ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) |
11 |
9 10
|
eqeq12d |
|- ( b = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) |
12 |
11
|
ralsng |
|- ( I e. V -> ( A. b e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } I ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) |
13 |
8 12
|
bitrd |
|- ( I e. V -> ( A. a e. { I } A. b e. { I } ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) |
14 |
3 13
|
mpbird |
|- ( I e. V -> A. a e. { I } A. b e. { I } ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) ) |
15 |
|
snex |
|- { I } e. _V |
16 |
1
|
grpbase |
|- ( { I } e. _V -> { I } = ( Base ` M ) ) |
17 |
15 16
|
ax-mp |
|- { I } = ( Base ` M ) |
18 |
|
snex |
|- { <. <. I , I >. , I >. } e. _V |
19 |
1
|
grpplusg |
|- ( { <. <. I , I >. , I >. } e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) ) |
20 |
18 19
|
ax-mp |
|- { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) |
21 |
17 20
|
isabl2 |
|- ( M e. Abel <-> ( M e. Grp /\ A. a e. { I } A. b e. { I } ( a { <. <. I , I >. , I >. } b ) = ( b { <. <. I , I >. , I >. } a ) ) ) |
22 |
2 14 21
|
sylanbrc |
|- ( I e. V -> M e. Abel ) |