Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atmod.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
atmod.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
atmod.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
atmod.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
atmod.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> K e. Lat ) |
8 |
|
simp22 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> X e. B ) |
9 |
|
simp23 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> Y e. B ) |
10 |
1 4
|
latmcom |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) ) |
11 |
7 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) ) |
13 |
|
simp21 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> P e. A ) |
14 |
1 5
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. B ) |
15 |
13 14
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> P e. B ) |
16 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
17 |
7 8 9 16
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
18 |
1 3
|
latjcom |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( X ./\ Y ) e. B ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) ) |
19 |
7 15 17 18
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) ) |
20 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Y e. B ) -> ( P .\/ Y ) e. B ) |
21 |
7 15 9 20
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ Y ) e. B ) |
22 |
1 4
|
latmcom |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) ) |
23 |
7 21 8 22
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) ) |
24 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> K e. HL ) |
25 |
|
simp3 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> P .<_ X ) |
26 |
1 2 3 4 5
|
atmod1i1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) = ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) ) |
27 |
24 13 9 8 25 26
|
syl131anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) = ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) ) |
28 |
1 3
|
latjcom |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ P e. B ) -> ( Y .\/ P ) = ( P .\/ Y ) ) |
29 |
7 9 15 28
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( Y .\/ P ) = ( P .\/ Y ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) ) |
31 |
23 27 30
|
3eqtr4d |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) = ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) ) |
32 |
12 19 31
|
3eqtr3d |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) = ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) ) |