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Theorem atmod2i2

Description: Version of modular law pmod2iN that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b 
|- B = ( Base ` K )
atmod.l 
|- .<_ = ( le ` K )
atmod.j 
|- .\/ = ( join ` K )
atmod.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
atmod.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion atmod2i2 
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 atmod.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 atmod.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 atmod.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 atmod.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> K e. Lat )
8 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> P e. A )
9 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
10 8 9 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> P e. B )
11 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> Y e. B )
12 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Y e. B ) -> ( P .\/ Y ) = ( Y .\/ P ) )
13 7 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( P .\/ Y ) = ( Y .\/ P ) )
14 13 oveq1d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) = ( ( Y .\/ P ) ./\ X ) )
15 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> X e. B )
16 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Y e. B ) -> ( P .\/ Y ) e. B )
17 7 10 11 16 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( P .\/ Y ) e. B )
18 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( P .\/ Y ) e. B ) -> ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) = ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) )
19 7 15 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) = ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) )
20 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> K e. HL )
21 simp3 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> Y .<_ X )
22 1 2 3 4 5 atmod1i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( P ./\ X ) ) = ( ( Y .\/ P ) ./\ X ) )
23 20 8 11 15 21 22 syl131anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( P ./\ X ) ) = ( ( Y .\/ P ) ./\ X ) )
24 14 19 23 3eqtr4d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) = ( Y .\/ ( P ./\ X ) ) )
25 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ X e. B ) -> ( P ./\ X ) e. B )
26 7 10 15 25 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( P ./\ X ) e. B )
27 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ ( P ./\ X ) e. B ) -> ( Y .\/ ( P ./\ X ) ) = ( ( P ./\ X ) .\/ Y ) )
28 7 11 26 27 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .\/ ( P ./\ X ) ) = ( ( P ./\ X ) .\/ Y ) )
29 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ X e. B ) -> ( P ./\ X ) = ( X ./\ P ) )
30 7 10 15 29 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( P ./\ X ) = ( X ./\ P ) )
31 30 oveq1d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( P ./\ X ) .\/ Y ) = ( ( X ./\ P ) .\/ Y ) )
32 24 28 31 3eqtrrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ P ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) )