Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-c16 |
|- ( A. x x = z -> ( x = w -> A. x x = w ) ) |
2 |
1
|
alrimiv |
|- ( A. x x = z -> A. w ( x = w -> A. x x = w ) ) |
3 |
2
|
axc4i-o |
|- ( A. x x = z -> A. x A. w ( x = w -> A. x x = w ) ) |
4 |
|
equequ1 |
|- ( x = z -> ( x = w <-> z = w ) ) |
5 |
4
|
cbvalvw |
|- ( A. x x = w <-> A. z z = w ) |
6 |
5
|
a1i |
|- ( x = z -> ( A. x x = w <-> A. z z = w ) ) |
7 |
4 6
|
imbi12d |
|- ( x = z -> ( ( x = w -> A. x x = w ) <-> ( z = w -> A. z z = w ) ) ) |
8 |
7
|
albidv |
|- ( x = z -> ( A. w ( x = w -> A. x x = w ) <-> A. w ( z = w -> A. z z = w ) ) ) |
9 |
8
|
cbvalvw |
|- ( A. x A. w ( x = w -> A. x x = w ) <-> A. z A. w ( z = w -> A. z z = w ) ) |
10 |
9
|
biimpi |
|- ( A. x A. w ( x = w -> A. x x = w ) -> A. z A. w ( z = w -> A. z z = w ) ) |
11 |
|
nfa1-o |
|- F/ z A. z z = w |
12 |
11
|
19.23 |
|- ( A. z ( z = w -> A. z z = w ) <-> ( E. z z = w -> A. z z = w ) ) |
13 |
12
|
albii |
|- ( A. w A. z ( z = w -> A. z z = w ) <-> A. w ( E. z z = w -> A. z z = w ) ) |
14 |
|
ax6ev |
|- E. z z = w |
15 |
|
pm2.27 |
|- ( E. z z = w -> ( ( E. z z = w -> A. z z = w ) -> A. z z = w ) ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
|- ( ( E. z z = w -> A. z z = w ) -> A. z z = w ) |
17 |
16
|
alimi |
|- ( A. w ( E. z z = w -> A. z z = w ) -> A. w A. z z = w ) |
18 |
|
equequ2 |
|- ( w = x -> ( z = w <-> z = x ) ) |
19 |
18
|
spv |
|- ( A. w z = w -> z = x ) |
20 |
19
|
sps-o |
|- ( A. z A. w z = w -> z = x ) |
21 |
20
|
alcoms |
|- ( A. w A. z z = w -> z = x ) |
22 |
17 21
|
syl |
|- ( A. w ( E. z z = w -> A. z z = w ) -> z = x ) |
23 |
13 22
|
sylbi |
|- ( A. w A. z ( z = w -> A. z z = w ) -> z = x ) |
24 |
23
|
alcoms |
|- ( A. z A. w ( z = w -> A. z z = w ) -> z = x ) |
25 |
24
|
axc4i-o |
|- ( A. z A. w ( z = w -> A. z z = w ) -> A. z z = x ) |
26 |
3 10 25
|
3syl |
|- ( A. x x = z -> A. z z = x ) |