Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zfpow |
|- E. w A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. w ) |
2 |
|
19.8a |
|- ( w e. y -> E. z w e. y ) |
3 |
|
sp |
|- ( A. y w e. z -> w e. z ) |
4 |
2 3
|
imim12i |
|- ( ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> ( w e. y -> w e. z ) ) |
5 |
4
|
alimi |
|- ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> A. w ( w e. y -> w e. z ) ) |
6 |
5
|
imim1i |
|- ( ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. w ) -> ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) ) |
7 |
6
|
alimi |
|- ( A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. w ) -> A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) ) |
8 |
1 7
|
eximii |
|- E. w A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) |
9 |
|
nfnae |
|- F/ x -. A. x x = y |
10 |
|
nfnae |
|- F/ x -. A. x x = z |
11 |
9 10
|
nfan |
|- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) |
12 |
|
nfnae |
|- F/ y -. A. x x = y |
13 |
|
nfnae |
|- F/ y -. A. x x = z |
14 |
12 13
|
nfan |
|- F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) |
15 |
|
nfv |
|- F/ w ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) |
16 |
|
nfnae |
|- F/ z -. A. x x = y |
17 |
|
nfcvd |
|- ( -. A. x x = y -> F/_ x w ) |
18 |
|
nfcvf |
|- ( -. A. x x = y -> F/_ x y ) |
19 |
17 18
|
nfeld |
|- ( -. A. x x = y -> F/ x w e. y ) |
20 |
16 19
|
nfexd |
|- ( -. A. x x = y -> F/ x E. z w e. y ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. z w e. y ) |
22 |
|
nfcvd |
|- ( -. A. x x = z -> F/_ x w ) |
23 |
|
nfcvf |
|- ( -. A. x x = z -> F/_ x z ) |
24 |
22 23
|
nfeld |
|- ( -. A. x x = z -> F/ x w e. z ) |
25 |
13 24
|
nfald |
|- ( -. A. x x = z -> F/ x A. y w e. z ) |
26 |
25
|
adantl |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y w e. z ) |
27 |
21 26
|
nfimd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) ) |
28 |
15 27
|
nfald |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) ) |
29 |
18 17
|
nfeld |
|- ( -. A. x x = y -> F/ x y e. w ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. w ) |
31 |
28 30
|
nfimd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) ) |
32 |
14 31
|
nfald |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) ) |
33 |
|
nfeqf2 |
|- ( -. A. y y = x -> F/ y w = x ) |
34 |
33
|
naecoms |
|- ( -. A. x x = y -> F/ y w = x ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ y w = x ) |
36 |
14 35
|
nfan1 |
|- F/ y ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) |
37 |
|
nfnae |
|- F/ z -. A. x x = z |
38 |
|
nfeqf2 |
|- ( -. A. z z = x -> F/ z w = x ) |
39 |
38
|
naecoms |
|- ( -. A. x x = z -> F/ z w = x ) |
40 |
37 39
|
nfan1 |
|- F/ z ( -. A. x x = z /\ w = x ) |
41 |
|
elequ1 |
|- ( w = x -> ( w e. y <-> x e. y ) ) |
42 |
41
|
adantl |
|- ( ( -. A. x x = z /\ w = x ) -> ( w e. y <-> x e. y ) ) |
43 |
40 42
|
exbid |
|- ( ( -. A. x x = z /\ w = x ) -> ( E. z w e. y <-> E. z x e. y ) ) |
44 |
43
|
adantll |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. z w e. y <-> E. z x e. y ) ) |
45 |
12 34
|
nfan1 |
|- F/ y ( -. A. x x = y /\ w = x ) |
46 |
|
elequ1 |
|- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) ) |
47 |
46
|
adantl |
|- ( ( -. A. x x = y /\ w = x ) -> ( w e. z <-> x e. z ) ) |
48 |
45 47
|
albid |
|- ( ( -. A. x x = y /\ w = x ) -> ( A. y w e. z <-> A. y x e. z ) ) |
49 |
48
|
adantlr |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y w e. z <-> A. y x e. z ) ) |
50 |
44 49
|
imbi12d |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) ) |
51 |
50
|
ex |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) ) ) |
52 |
11 27 51
|
cbvald |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) ) |
54 |
|
elequ2 |
|- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) ) |
55 |
54
|
adantl |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( y e. w <-> y e. x ) ) |
56 |
53 55
|
imbi12d |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
57 |
36 56
|
albid |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
58 |
57
|
ex |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) ) |
59 |
11 32 58
|
cbvexd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
60 |
8 59
|
mpbii |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) |
61 |
60
|
ex |
|- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) |