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Theorem axpowndlem2

Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. Revised to remove a redundant antecedent from the consequence. Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 4-Jan-2002) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016) (Revised and shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion axpowndlem2 ¬ x x = y ¬ x x = z x y x z x y y x z y x

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 zfpow w y w w y w z y w
2 19.8a w y z w y
3 sp y w z w z
4 2 3 imim12i z w y y w z w y w z
5 4 alimi w z w y y w z w w y w z
6 5 imim1i w w y w z y w w z w y y w z y w
7 6 alimi y w w y w z y w y w z w y y w z y w
8 1 7 eximii w y w z w y y w z y w
9 nfnae x ¬ x x = y
10 nfnae x ¬ x x = z
11 9 10 nfan x ¬ x x = y ¬ x x = z
12 nfnae y ¬ x x = y
13 nfnae y ¬ x x = z
14 12 13 nfan y ¬ x x = y ¬ x x = z
15 nfv w ¬ x x = y ¬ x x = z
16 nfnae z ¬ x x = y
17 nfcvd ¬ x x = y _ x w
18 nfcvf ¬ x x = y _ x y
19 17 18 nfeld ¬ x x = y x w y
20 16 19 nfexd ¬ x x = y x z w y
21 20 adantr ¬ x x = y ¬ x x = z x z w y
22 nfcvd ¬ x x = z _ x w
23 nfcvf ¬ x x = z _ x z
24 22 23 nfeld ¬ x x = z x w z
25 13 24 nfald ¬ x x = z x y w z
26 25 adantl ¬ x x = y ¬ x x = z x y w z
27 21 26 nfimd ¬ x x = y ¬ x x = z x z w y y w z
28 15 27 nfald ¬ x x = y ¬ x x = z x w z w y y w z
29 18 17 nfeld ¬ x x = y x y w
30 29 adantr ¬ x x = y ¬ x x = z x y w
31 28 30 nfimd ¬ x x = y ¬ x x = z x w z w y y w z y w
32 14 31 nfald ¬ x x = y ¬ x x = z x y w z w y y w z y w
33 nfeqf2 ¬ y y = x y w = x
34 33 naecoms ¬ x x = y y w = x
35 34 adantr ¬ x x = y ¬ x x = z y w = x
36 14 35 nfan1 y ¬ x x = y ¬ x x = z w = x
37 nfnae z ¬ x x = z
38 nfeqf2 ¬ z z = x z w = x
39 38 naecoms ¬ x x = z z w = x
40 37 39 nfan1 z ¬ x x = z w = x
41 elequ1 w = x w y x y
42 41 adantl ¬ x x = z w = x w y x y
43 40 42 exbid ¬ x x = z w = x z w y z x y
44 43 adantll ¬ x x = y ¬ x x = z w = x z w y z x y
45 12 34 nfan1 y ¬ x x = y w = x
46 elequ1 w = x w z x z
47 46 adantl ¬ x x = y w = x w z x z
48 45 47 albid ¬ x x = y w = x y w z y x z
49 48 adantlr ¬ x x = y ¬ x x = z w = x y w z y x z
50 44 49 imbi12d ¬ x x = y ¬ x x = z w = x z w y y w z z x y y x z
51 50 ex ¬ x x = y ¬ x x = z w = x z w y y w z z x y y x z
52 11 27 51 cbvald ¬ x x = y ¬ x x = z w z w y y w z x z x y y x z
53 52 adantr ¬ x x = y ¬ x x = z w = x w z w y y w z x z x y y x z
54 elequ2 w = x y w y x
55 54 adantl ¬ x x = y ¬ x x = z w = x y w y x
56 53 55 imbi12d ¬ x x = y ¬ x x = z w = x w z w y y w z y w x z x y y x z y x
57 36 56 albid ¬ x x = y ¬ x x = z w = x y w z w y y w z y w y x z x y y x z y x
58 57 ex ¬ x x = y ¬ x x = z w = x y w z w y y w z y w y x z x y y x z y x
59 11 32 58 cbvexd ¬ x x = y ¬ x x = z w y w z w y y w z y w x y x z x y y x z y x
60 8 59 mpbii ¬ x x = y ¬ x x = z x y x z x y y x z y x
61 60 ex ¬ x x = y ¬ x x = z x y x z x y y x z y x