Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
axrep2 |
|- E. x ( E. y A. w ( [ w / z ] ph -> w = y ) -> A. w ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) ) |
2 |
|
nfnae |
|- F/ x -. A. y y = z |
3 |
|
nfnae |
|- F/ y -. A. y y = z |
4 |
|
nfnae |
|- F/ z -. A. y y = z |
5 |
|
nfs1v |
|- F/ z [ w / z ] ph |
6 |
5
|
a1i |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z [ w / z ] ph ) |
7 |
|
nfcvd |
|- ( -. A. y y = z -> F/_ z w ) |
8 |
|
nfcvf2 |
|- ( -. A. y y = z -> F/_ z y ) |
9 |
7 8
|
nfeqd |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z w = y ) |
10 |
6 9
|
nfimd |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z ( [ w / z ] ph -> w = y ) ) |
11 |
|
sbequ12r |
|- ( w = z -> ( [ w / z ] ph <-> ph ) ) |
12 |
|
equequ1 |
|- ( w = z -> ( w = y <-> z = y ) ) |
13 |
11 12
|
imbi12d |
|- ( w = z -> ( ( [ w / z ] ph -> w = y ) <-> ( ph -> z = y ) ) ) |
14 |
13
|
a1i |
|- ( -. A. y y = z -> ( w = z -> ( ( [ w / z ] ph -> w = y ) <-> ( ph -> z = y ) ) ) ) |
15 |
4 10 14
|
cbvald |
|- ( -. A. y y = z -> ( A. w ( [ w / z ] ph -> w = y ) <-> A. z ( ph -> z = y ) ) ) |
16 |
3 15
|
exbid |
|- ( -. A. y y = z -> ( E. y A. w ( [ w / z ] ph -> w = y ) <-> E. y A. z ( ph -> z = y ) ) ) |
17 |
|
nfvd |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z w e. x ) |
18 |
8
|
nfcrd |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z x e. y ) |
19 |
3 6
|
nfald |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z A. y [ w / z ] ph ) |
20 |
18 19
|
nfand |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) |
21 |
2 20
|
nfexd |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) |
22 |
17 21
|
nfbid |
|- ( -. A. y y = z -> F/ z ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) ) |
23 |
|
elequ1 |
|- ( w = z -> ( w e. x <-> z e. x ) ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( -. A. y y = z /\ w = z ) -> ( w e. x <-> z e. x ) ) |
25 |
|
nfeqf2 |
|- ( -. A. y y = z -> F/ y w = z ) |
26 |
3 25
|
nfan1 |
|- F/ y ( -. A. y y = z /\ w = z ) |
27 |
11
|
adantl |
|- ( ( -. A. y y = z /\ w = z ) -> ( [ w / z ] ph <-> ph ) ) |
28 |
26 27
|
albid |
|- ( ( -. A. y y = z /\ w = z ) -> ( A. y [ w / z ] ph <-> A. y ph ) ) |
29 |
28
|
anbi2d |
|- ( ( -. A. y y = z /\ w = z ) -> ( ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) <-> ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) |
30 |
29
|
exbidv |
|- ( ( -. A. y y = z /\ w = z ) -> ( E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) |
31 |
24 30
|
bibi12d |
|- ( ( -. A. y y = z /\ w = z ) -> ( ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) <-> ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) |
32 |
31
|
ex |
|- ( -. A. y y = z -> ( w = z -> ( ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) <-> ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) ) |
33 |
4 22 32
|
cbvald |
|- ( -. A. y y = z -> ( A. w ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) <-> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) |
34 |
16 33
|
imbi12d |
|- ( -. A. y y = z -> ( ( E. y A. w ( [ w / z ] ph -> w = y ) -> A. w ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) ) |
35 |
2 34
|
exbid |
|- ( -. A. y y = z -> ( E. x ( E. y A. w ( [ w / z ] ph -> w = y ) -> A. w ( w e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y [ w / z ] ph ) ) ) <-> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) ) |
36 |
1 35
|
mpbii |
|- ( -. A. y y = z -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) |