Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ballotth.m |
|- M e. NN |
2 |
|
ballotth.n |
|- N e. NN |
3 |
|
ballotth.o |
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } |
4 |
|
ballotth.p |
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) ) |
5 |
|
ballotth.f |
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) ) |
6 |
|
ballotth.e |
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } |
7 |
|
ballotth.mgtn |
|- N < M |
8 |
|
ballotth.i |
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) |
9 |
|
ballotth.s |
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
ballotlemsv |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) ) |
11 |
|
fzssuz |
|- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) |
12 |
|
uzssz |
|- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ |
13 |
11 12
|
sstri |
|- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ |
14 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
ballotlemiex |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) ) |
15 |
14
|
simpld |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
16 |
13 15
|
sseldi |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ ) |
17 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ ) |
18 |
|
nnaddcl |
|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN ) |
19 |
1 2 18
|
mp2an |
|- ( M + N ) e. NN |
20 |
19
|
nnzi |
|- ( M + N ) e. ZZ |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
22 |
15
|
ad2antrr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
23 |
|
elfzle2 |
|- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) |
25 |
|
eluz2 |
|- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) <-> ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) ) |
26 |
|
fzss2 |
|- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
27 |
25 26
|
sylbir |
|- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( I ` C ) <_ ( M + N ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
28 |
17 21 24 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
29 |
|
1zzd |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ ) |
30 |
|
simplr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
31 |
13 30
|
sseldi |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ZZ ) |
32 |
|
elfzle1 |
|- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J ) |
33 |
30 32
|
syl |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> 1 <_ J ) |
34 |
|
simpr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) ) |
35 |
|
elfz4 |
|- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) |
36 |
29 17 31 33 34 35
|
syl32anc |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) |
37 |
|
fzrev3i |
|- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) |
38 |
36 37
|
syl |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) |
39 |
|
1cnd |
|- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. CC ) |
40 |
16
|
zcnd |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. CC ) |
41 |
39 40
|
addcomd |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 + ( I ` C ) ) = ( ( I ` C ) + 1 ) ) |
42 |
41
|
oveq1d |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ) |
43 |
42
|
eleq1d |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) ) |
44 |
43
|
ad2antrr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( 1 + ( I ` C ) ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) ) |
45 |
38 44
|
mpbid |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) |
46 |
28 45
|
sseldd |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
47 |
|
simplr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
48 |
46 47
|
ifclda |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
49 |
10 48
|
eqeltrd |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |