Metamath Proof Explorer

Theorem bnj611

Description: Technical lemma for bnj852 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj611.1 
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
bnj611.2 
|- ( ps" <-> [. G / f ]. ps )
bnj611.3 
|- G e. _V
Assertion bnj611 
|- ( ps" <-> A. i e. _om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj611.1 
 |-  ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
2 bnj611.2 
 |-  ( ps" <-> [. G / f ]. ps )
3 bnj611.3 
 |-  G e. _V
4 df-ral 
 |-  ( A. i e. _om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
5 4 bicomi 
 |-  ( A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i e. _om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
6 5 sbcbii 
 |-  ( [. G / f ]. A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. G / f ]. A. i e. _om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
7 nfv 
 |-  F/ f i e. _om
8 7 sbc19.21g 
 |-  ( G e. _V -> ( [. G / f ]. ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. _om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) ) )
9 3 8 ax-mp 
 |-  ( [. G / f ]. ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. _om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
10 nfv 
 |-  F/ f suc i e. N
11 10 sbc19.21g 
 |-  ( G e. _V -> ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
12 3 11 ax-mp 
 |-  ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
13 fveq1 
 |-  ( f = G -> ( f ` suc i ) = ( G ` suc i ) )
14 fveq1 
 |-  ( f = G -> ( f ` i ) = ( G ` i ) )
15 14 bnj1113 
 |-  ( f = G -> U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
16 13 15 eqeq12d 
 |-  ( f = G -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
17 fveq1 
 |-  ( f = e -> ( f ` suc i ) = ( e ` suc i ) )
18 fveq1 
 |-  ( f = e -> ( f ` i ) = ( e ` i ) )
19 18 bnj1113 
 |-  ( f = e -> U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( e ` i ) _pred ( y , A , R ) )
20 17 19 eqeq12d 
 |-  ( f = e -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) <-> ( e ` suc i ) = U_ y e. ( e ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
21 fveq1 
 |-  ( e = G -> ( e ` suc i ) = ( G ` suc i ) )
22 fveq1 
 |-  ( e = G -> ( e ` i ) = ( G ` i ) )
23 22 bnj1113 
 |-  ( e = G -> U_ y e. ( e ` i ) _pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
24 21 23 eqeq12d 
 |-  ( e = G -> ( ( e ` suc i ) = U_ y e. ( e ` i ) _pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
25 3 16 20 24 bnj610 
 |-  ( [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
26 25 imbi2i 
 |-  ( ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
27 12 26 bitri 
 |-  ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
28 27 imbi2i 
 |-  ( ( i e. _om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
29 9 28 bitri 
 |-  ( [. G / f ]. ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
30 29 albii 
 |-  ( A. i [. G / f ]. ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
31 sbcal 
 |-  ( [. G / f ]. A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i [. G / f ]. ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
32 df-ral 
 |-  ( A. i e. _om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
33 30 31 32 3bitr4ri 
 |-  ( A. i e. _om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> [. G / f ]. A. i ( i e. _om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) )
34 1 sbcbii 
 |-  ( [. G / f ]. ps <-> [. G / f ]. A. i e. _om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
35 6 33 34 3bitr4ri 
 |-  ( [. G / f ]. ps <-> A. i e. _om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
36 2 35 bitri 
 |-  ( ps" <-> A. i e. _om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )