Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme11e

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme11 . (Contributed by NM, 13-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme11.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme11.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme11.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme11.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme11.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme11.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme11.c 
|- C = ( ( P .\/ S ) ./\ W )
cdleme11.d 
|- D = ( ( P .\/ T ) ./\ W )
Assertion cdleme11e 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> C =/= D )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme11.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme11.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme11.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme11.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme11.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme11.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme11.c 
 |-  C = ( ( P .\/ S ) ./\ W )
8 cdleme11.d 
 |-  D = ( ( P .\/ T ) ./\ W )
9 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
11 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> T e. A )
12 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
13 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. HL )
14 13 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. Lat )
15 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P e. A )
16 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
17 16 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
18 15 17 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
19 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. A )
20 16 4 atbase 
 |-  ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) )
21 19 20 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. ( Base ` K ) )
22 16 4 atbase 
 |-  ( T e. A -> T e. ( Base ` K ) )
23 11 22 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> T e. ( Base ` K ) )
24 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) )
25 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) )
26 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
27 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> U .<_ ( S .\/ T ) )
28 1 2 3 4 5 6 cdleme11c 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. P .<_ ( S .\/ T ) )
29 24 25 26 27 28 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. P .<_ ( S .\/ T ) )
30 16 1 2 latnlej1r 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) /\ T e. ( Base ` K ) ) /\ -. P .<_ ( S .\/ T ) ) -> P =/= T )
31 14 18 21 23 29 30 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P =/= T )
32 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S =/= T )
33 1 2 4 hlatcon2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P e. A ) /\ ( S =/= T /\ -. P .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ T ) )
34 13 19 11 15 32 29 33 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ T ) )
35 1 2 3 4 5 8 7 cdleme0e 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ T e. A /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ T ) ) ) -> D =/= C )
36 9 10 11 12 31 34 35 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> D =/= C )
37 36 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( S =/= T /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> C =/= D )