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Theorem cdleme11e

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme11 . (Contributed by NM, 13-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme11.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme11.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme11.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme11.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme11.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme11.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme11.c 𝐶 = ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 )
cdleme11.d 𝐷 = ( ( 𝑃 𝑇 ) 𝑊 )
Assertion cdleme11e ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝐶𝐷 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme11.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme11.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme11.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme11.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme11.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme11.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
7 cdleme11.c 𝐶 = ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 )
8 cdleme11.d 𝐷 = ( ( 𝑃 𝑇 ) 𝑊 )
9 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
10 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
11 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑇𝐴 )
12 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) )
13 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
14 13 hllatd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15 simp12l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑃𝐴 )
16 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17 16 4 atbase ( 𝑃𝐴𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 15 17 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 simp21l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑆𝐴 )
20 16 4 atbase ( 𝑆𝐴𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 19 20 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 16 4 atbase ( 𝑇𝐴𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 11 22 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 simp1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) )
25 simp2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) )
26 simp32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) )
27 simp33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) )
28 1 2 3 4 5 6 cdleme11c ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑃 ( 𝑆 𝑇 ) )
29 24 25 26 27 28 syl112anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑃 ( 𝑆 𝑇 ) )
30 16 1 2 latnlej1r ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ( 𝑆 𝑇 ) ) → 𝑃𝑇 )
31 14 18 21 23 29 30 syl131anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑃𝑇 )
32 simp31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝑆𝑇 )
33 1 2 4 hlatcon2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑃𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑃 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑇 ) )
34 13 19 11 15 32 29 33 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑇 ) )
35 1 2 3 4 5 8 7 cdleme0e ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴 ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑇 ) ) ) → 𝐷𝐶 )
36 9 10 11 12 31 34 35 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝐷𝐶 )
37 36 necomd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊 ) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑈 ( 𝑆 𝑇 ) ) ) → 𝐶𝐷 )