Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme24

Description: Quantified version of cdleme21k . (Contributed by NM, 26-Dec-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme24.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme24.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme24.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme24.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme24.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme24.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme24.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme24.f 
|- F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme24.n 
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme24.g 
|- G = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme24.o 
|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme24 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> A. s e. A A. t e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> N = O ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme24.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme24.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme24.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme24.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme24.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme24.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme24.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme24.f 
 |-  F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme24.n 
 |-  N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ s ) ./\ W ) ) )
10 cdleme24.g 
 |-  G = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdleme24.o 
 |-  O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
12 simp111 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp112 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
14 simp113 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
15 simp12 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
16 simp2l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> s e. A )
17 simp3ll 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. s .<_ W )
18 16 17 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( s e. A /\ -. s .<_ W ) )
19 simp2r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t e. A )
20 simp3rl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ W )
21 19 20 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) )
22 simp13l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
23 simp3lr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. s .<_ ( P .\/ Q ) )
24 simp3rr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) )
25 simp13r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
26 23 24 25 3jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( -. s .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) )
27 eqid 
 |-  ( ( R .\/ s ) ./\ W ) = ( ( R .\/ s ) ./\ W )
28 eqid 
 |-  ( ( R .\/ t ) ./\ W ) = ( ( R .\/ t ) ./\ W )
29 2 3 4 5 6 7 8 10 27 28 9 11 cdleme21k 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( -. s .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> N = O )
30 12 13 14 15 18 21 22 26 29 syl332anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( s e. A /\ t e. A ) /\ ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> N = O )
31 30 3exp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( s e. A /\ t e. A ) -> ( ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> N = O ) ) )
32 31 ralrimivv 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> A. s e. A A. t e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> N = O ) )