Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme26.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdleme26.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdleme26.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdleme26.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdleme26.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdleme26.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdleme27.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
cdleme27.f |
|- F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdleme27.z |
|- Z = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdleme27.n |
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Z .\/ ( ( s .\/ z ) ./\ W ) ) ) |
11 |
|
cdleme27.d |
|- D = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) ) |
12 |
|
cdleme27.c |
|- C = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , D , F ) |
13 |
|
cdleme27.g |
|- G = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
14 |
|
cdleme27.o |
|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Z .\/ ( ( t .\/ z ) ./\ W ) ) ) |
15 |
|
cdleme27.e |
|- E = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O ) ) |
16 |
|
cdleme27.y |
|- Y = if ( t .<_ ( P .\/ Q ) , E , G ) |
17 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
cdleme27b |
|- ( s = t -> C = Y ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s = t ) -> C = Y ) |
19 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> K e. HL ) |
20 |
19
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> K e. Lat ) |
21 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> W e. H ) |
22 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
23 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
24 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) |
25 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> P =/= Q ) |
26 |
1 2 3 4 5 6 7 13 9 14 15 16
|
cdleme27cl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ P =/= Q ) ) -> Y e. B ) |
27 |
19 21 22 23 24 25 26
|
syl222anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> Y e. B ) |
28 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> V e. A ) |
29 |
1 5
|
atbase |
|- ( V e. A -> V e. B ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> V e. B ) |
31 |
1 2 3
|
latlej1 |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ V e. B ) -> Y .<_ ( Y .\/ V ) ) |
32 |
20 27 30 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> Y .<_ ( Y .\/ V ) ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s = t ) -> Y .<_ ( Y .\/ V ) ) |
34 |
18 33
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s = t ) -> C .<_ ( Y .\/ V ) ) |
35 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
36 |
|
simpl12 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> P =/= Q ) |
37 |
|
simpl13 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) |
38 |
|
simpl21 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
39 |
|
simpl22 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
40 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> s =/= t ) |
42 |
|
simpl3l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> s .<_ ( t .\/ V ) ) |
43 |
41 42
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( s =/= t /\ s .<_ ( t .\/ V ) ) ) |
44 |
|
simpl3r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> ( V e. A /\ V .<_ W ) ) |
45 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
cdleme27a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( ( s =/= t /\ s .<_ ( t .\/ V ) ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> C .<_ ( Y .\/ V ) ) |
46 |
35 36 37 38 39 40 43 44 45
|
syl332anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) /\ s =/= t ) -> C .<_ ( Y .\/ V ) ) |
47 |
34 46
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( s .<_ ( t .\/ V ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) ) -> C .<_ ( Y .\/ V ) ) |