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Theorem cdleme32b

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 19-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme32.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme32.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme32.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme32.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme32.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme32.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme32.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme32.c 
|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme32.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.i 
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdleme32.n 
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme32.o 
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
cdleme32.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
Assertion cdleme32b 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( F ` Y ) = ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme32.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme32.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme32.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme32.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme32.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme32.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme32.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme32.c 
 |-  C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme32.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdleme32.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdleme32.i 
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
12 cdleme32.n 
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
13 cdleme32.o 
 |-  O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
14 cdleme32.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
15 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
16 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. B )
17 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> P =/= Q )
18 simp23r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> -. X .<_ W )
19 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
20 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
21 20 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Lat )
22 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. B )
23 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> W e. H )
24 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
25 23 24 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> W e. B )
26 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ W ) -> X .<_ W ) )
27 21 22 16 25 26 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ W ) -> X .<_ W ) )
28 19 27 mpand 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y .<_ W -> X .<_ W ) )
29 18 28 mtod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> -. Y .<_ W )
30 17 29 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) )
31 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s e. A /\ -. s .<_ W ) )
32 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
33 simp31l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> s e. A )
34 22 18 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
35 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X )
36 1 2 3 4 5 6 cdleme30a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y )
37 32 33 34 16 35 19 36 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme32a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y ) ) -> ( F ` Y ) = ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )
39 15 16 30 31 37 38 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( F ` Y ) = ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )