Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemefs32.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemefs32.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemefs32.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemefs32.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemefs32.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemefs32.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemefs32.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
cdlemefs32.d |
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdlemefs32.e |
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdlemefs32.i |
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) |
11 |
|
cdlemefs32.n |
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C ) |
12 |
|
cdlemefs32a1.y |
|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
13 |
|
cdlemefs32a1.z |
|- Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) |
14 |
1
|
fvexi |
|- B e. _V |
15 |
|
nfv |
|- F/ t ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
16 |
|
nfra1 |
|- F/ t A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) |
17 |
|
nfcv |
|- F/_ t B |
18 |
16 17
|
nfriota |
|- F/_ t ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) |
19 |
13 18
|
nfcxfr |
|- F/_ t Z |
20 |
19
|
nfel1 |
|- F/ t Z e. A |
21 |
|
nfcv |
|- F/_ t .<_ |
22 |
|
nfcv |
|- F/_ t W |
23 |
19 21 22
|
nfbr |
|- F/ t Z .<_ W |
24 |
23
|
nfn |
|- F/ t -. Z .<_ W |
25 |
20 24
|
nfan |
|- F/ t ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) |
26 |
25
|
a1i |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> F/ t ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) ) |
27 |
13
|
a1i |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) ) |
28 |
|
eleq1 |
|- ( Y = Z -> ( Y e. A <-> Z e. A ) ) |
29 |
|
breq1 |
|- ( Y = Z -> ( Y .<_ W <-> Z .<_ W ) ) |
30 |
29
|
notbid |
|- ( Y = Z -> ( -. Y .<_ W <-> -. Z .<_ W ) ) |
31 |
28 30
|
anbi12d |
|- ( Y = Z -> ( ( Y e. A /\ -. Y .<_ W ) <-> ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) ) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ Y = Z ) -> ( ( Y e. A /\ -. Y .<_ W ) <-> ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) ) ) |
33 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
34 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) |
35 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t e. A ) |
36 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ W ) |
37 |
35 36
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) |
38 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q ) |
39 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
40 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) |
41 |
2 3 4 5 6 7 8 12
|
cdleme7ga |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y e. A ) |
42 |
2 3 4 5 6 7 8 12
|
cdleme7 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. Y .<_ W ) |
43 |
41 42
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Y e. A /\ -. Y .<_ W ) ) |
44 |
33 34 37 38 39 40 43
|
syl123anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( Y e. A /\ -. Y .<_ W ) ) |
45 |
44
|
ex |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Y e. A /\ -. Y .<_ W ) ) ) |
46 |
|
simp1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
47 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> R e. A ) |
48 |
|
simp2rr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> -. R .<_ W ) |
49 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P =/= Q ) |
50 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
51 |
1 2 3 4 5 6 7 8 12 13
|
cdleme25cl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Z e. B ) |
52 |
46 47 48 49 50 51
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Z e. B ) |
53 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
54 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
55 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
56 |
2 3 5 6
|
cdlemb2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
57 |
53 54 55 49 56
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
58 |
15 26 27 32 45 52 57
|
riotasv3d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ B e. _V ) -> ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) ) |
59 |
14 58
|
mpan2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) ) |
60 |
9 10 11 12 13
|
cdleme31sn1c |
|- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = Z ) |
61 |
47 50 60
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = Z ) |
62 |
61
|
eleq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( [_ R / s ]_ N e. A <-> Z e. A ) ) |
63 |
61
|
breq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( [_ R / s ]_ N .<_ W <-> Z .<_ W ) ) |
64 |
63
|
notbid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( -. [_ R / s ]_ N .<_ W <-> -. Z .<_ W ) ) |
65 |
62 64
|
anbi12d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( [_ R / s ]_ N e. A /\ -. [_ R / s ]_ N .<_ W ) <-> ( Z e. A /\ -. Z .<_ W ) ) ) |
66 |
59 65
|
mpbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( [_ R / s ]_ N e. A /\ -. [_ R / s ]_ N .<_ W ) ) |