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Theorem cdlemkvcl

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk.v1 
|- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )
Assertion cdlemkvcl 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> V e. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemk.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemk.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemk.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemk.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
9 cdlemk.v1 
 |-  V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )
10 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> K e. HL )
11 10 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> K e. Lat )
12 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> G e. T )
14 1 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
15 14 3ad2ant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> P e. B )
16 1 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. B ) -> ( G ` P ) e. B )
17 12 13 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. B )
18 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> X e. T )
19 1 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ P e. B ) -> ( X ` P ) e. B )
20 12 18 15 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( X ` P ) e. B )
21 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( G ` P ) e. B /\ ( X ` P ) e. B ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
22 11 17 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
23 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> F e. T )
24 5 6 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
25 12 23 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> `' F e. T )
26 5 6 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
27 12 13 25 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( G o. `' F ) e. T )
28 1 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
29 12 27 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
30 5 6 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' F e. T ) -> ( X o. `' F ) e. T )
31 12 18 25 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( X o. `' F ) e. T )
32 1 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
33 12 31 32 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
34 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
35 11 29 33 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
36 1 8 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) e. B )
37 11 22 35 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) e. B )
38 9 37 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ P e. A ) -> V e. B )