Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemk.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemk.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemk.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemk.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemk.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemk.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemk.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemk.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
9 |
|
cdlemk.v1 |
|- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T ) |
12 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T ) |
13 |
5 6
|
ltrncnv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T ) |
14 |
10 12 13
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T ) |
15 |
5 6
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T ) |
16 |
10 11 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T ) |
17 |
2 5 6 7
|
trlle |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W ) |
18 |
10 16 17
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W ) |
19 |
|
simp23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T ) |
20 |
5 6
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' F e. T ) -> ( X o. `' F ) e. T ) |
21 |
10 19 14 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' F ) e. T ) |
22 |
2 5 6 7
|
trlle |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) |
23 |
10 21 22
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) |
24 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL ) |
25 |
24
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat ) |
26 |
1 5 6 7
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) |
27 |
10 16 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) |
28 |
1 5 6 7
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) |
29 |
10 21 28
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) |
30 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H ) |
31 |
1 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B ) |
33 |
1 2 3
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) ) |
34 |
25 27 29 32 33
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) ) |
35 |
18 23 34
|
mpbi2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) |
36 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B ) |
37 |
25 27 29 36
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B ) |
38 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A ) |
39 |
2 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A ) |
40 |
10 11 38 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A ) |
41 |
2 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ P e. A ) -> ( X ` P ) e. A ) |
42 |
10 19 38 41
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X ` P ) e. A ) |
43 |
1 3 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ ( G ` P ) e. A /\ ( X ` P ) e. A ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B ) |
44 |
24 40 42 43
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B ) |
45 |
1 2 8
|
latmlem2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B /\ W e. B /\ ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) ) |
46 |
25 37 32 44 45
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) ) |
47 |
35 46
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) |
48 |
|
simp3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
49 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemk9 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) ) |
50 |
24 30 11 19 48 49
|
syl221anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) ) |
51 |
47 50
|
breqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) |
52 |
9 51
|
eqbrtrid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) |