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Theorem cdlemk10

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk.v1 𝑉 = ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) )
Assertion cdlemk10 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑉 ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemk.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemk.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemk.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk.m = ( meet ‘ 𝐾 )
9 cdlemk.v1 𝑉 = ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) )
10 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
11 simp22 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐺𝑇 )
12 simp21 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐹𝑇 )
13 5 6 ltrncnv ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇 ) → 𝐹𝑇 )
14 10 12 13 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐹𝑇 )
15 5 6 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 𝐹𝑇 ) → ( 𝐺 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
16 10 11 14 15 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐺 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
17 2 5 6 7 trlle ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) 𝑊 )
18 10 16 17 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) 𝑊 )
19 simp23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑋𝑇 )
20 5 6 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑋𝑇 𝐹𝑇 ) → ( 𝑋 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
21 10 19 14 20 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑋 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
22 2 5 6 7 trlle ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑋 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) 𝑊 )
23 10 21 22 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) 𝑊 )
24 simp1l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
25 24 hllatd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
26 1 5 6 7 trlcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
27 10 16 26 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
28 1 5 6 7 trlcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑋 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
29 10 21 28 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
30 simp1r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑊𝐻 )
31 1 5 lhpbase ( 𝑊𝐻𝑊𝐵 )
32 30 31 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑊𝐵 )
33 1 2 3 latjle12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ∈ 𝐵𝑊𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) 𝑊 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) 𝑊 ) )
34 25 27 29 32 33 syl13anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) 𝑊 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) 𝑊 ) )
35 18 23 34 mpbi2and ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) 𝑊 )
36 1 3 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
37 25 27 29 36 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
38 simp3l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑃𝐴 )
39 2 4 5 6 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴 ) → ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 )
40 10 11 38 39 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 )
41 2 4 5 6 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴 ) → ( 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
42 10 19 38 41 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
43 1 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ∈ 𝐵 )
44 24 40 42 43 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ∈ 𝐵 )
45 1 2 8 latmlem2 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵𝑊𝐵 ∧ ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) 𝑊 → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ) ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) ) )
46 25 37 32 44 45 syl13anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) 𝑊 → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ) ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) ) )
47 35 46 mpd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ) ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) )
48 simp3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
49 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemk9 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
50 24 30 11 19 48 49 syl221anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
51 47 50 breqtrd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑃 ) ( 𝑋𝑃 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐹 ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐹 ) ) ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )
52 9 51 eqbrtrid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑉 ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) )