Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cusgrsizeindb0.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
cusgrsizeindb0.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
|
cusgrcplgr |
|- ( G e. ComplUSGraph -> G e. ComplGraph ) |
4 |
1
|
nbcplgr |
|- ( ( G e. ComplGraph /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) = ( V \ { N } ) ) |
5 |
3 4
|
sylan |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) = ( V \ { N } ) ) |
6 |
5
|
3adant2 |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) = ( V \ { N } ) ) |
7 |
6
|
fveq2d |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( # ` ( G NeighbVtx N ) ) = ( # ` ( V \ { N } ) ) ) |
8 |
|
cusgrusgr |
|- ( G e. ComplUSGraph -> G e. USGraph ) |
9 |
8
|
anim1i |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ N e. V ) -> ( G e. USGraph /\ N e. V ) ) |
10 |
9
|
3adant2 |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( G e. USGraph /\ N e. V ) ) |
11 |
1 2
|
nbusgrf1o |
|- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> E. f f : ( G NeighbVtx N ) -1-1-onto-> { e e. E | N e. e } ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> E. f f : ( G NeighbVtx N ) -1-1-onto-> { e e. E | N e. e } ) |
13 |
1 2
|
nbusgr |
|- ( G e. USGraph -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. V | { N , n } e. E } ) |
14 |
8 13
|
syl |
|- ( G e. ComplUSGraph -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. V | { N , n } e. E } ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. V | { N , n } e. E } ) |
16 |
|
rabfi |
|- ( V e. Fin -> { n e. V | { N , n } e. E } e. Fin ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> { n e. V | { N , n } e. E } e. Fin ) |
18 |
15 17
|
eqeltrd |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> ( G NeighbVtx N ) e. Fin ) |
19 |
18
|
3adant3 |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) e. Fin ) |
20 |
8
|
anim1i |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) ) |
21 |
1
|
isfusgr |
|- ( G e. FinUSGraph <-> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) ) |
22 |
20 21
|
sylibr |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> G e. FinUSGraph ) |
23 |
|
fusgrfis |
|- ( G e. FinUSGraph -> ( Edg ` G ) e. Fin ) |
24 |
2 23
|
eqeltrid |
|- ( G e. FinUSGraph -> E e. Fin ) |
25 |
|
rabfi |
|- ( E e. Fin -> { e e. E | N e. e } e. Fin ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( G e. FinUSGraph -> { e e. E | N e. e } e. Fin ) |
27 |
22 26
|
syl |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin ) -> { e e. E | N e. e } e. Fin ) |
28 |
27
|
3adant3 |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> { e e. E | N e. e } e. Fin ) |
29 |
|
hasheqf1o |
|- ( ( ( G NeighbVtx N ) e. Fin /\ { e e. E | N e. e } e. Fin ) -> ( ( # ` ( G NeighbVtx N ) ) = ( # ` { e e. E | N e. e } ) <-> E. f f : ( G NeighbVtx N ) -1-1-onto-> { e e. E | N e. e } ) ) |
30 |
19 28 29
|
syl2anc |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( ( # ` ( G NeighbVtx N ) ) = ( # ` { e e. E | N e. e } ) <-> E. f f : ( G NeighbVtx N ) -1-1-onto-> { e e. E | N e. e } ) ) |
31 |
12 30
|
mpbird |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( # ` ( G NeighbVtx N ) ) = ( # ` { e e. E | N e. e } ) ) |
32 |
|
hashdifsn |
|- ( ( V e. Fin /\ N e. V ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) ) |
33 |
32
|
3adant1 |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) ) |
34 |
7 31 33
|
3eqtr3d |
|- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( # ` { e e. E | N e. e } ) = ( ( # ` V ) - 1 ) ) |