Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cutmax.1 |
|- ( ph -> A < |
2 |
|
cutmax.2 |
|- ( ph -> X e. A ) |
3 |
|
cutmax.3 |
|- ( ph -> A. y e. A y <_s X ) |
4 |
|
breq2 |
|- ( x = X -> ( y <_s x <-> y <_s X ) ) |
5 |
4
|
rexsng |
|- ( X e. A -> ( E. x e. { X } y <_s x <-> y <_s X ) ) |
6 |
2 5
|
syl |
|- ( ph -> ( E. x e. { X } y <_s x <-> y <_s X ) ) |
7 |
6
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. y e. A E. x e. { X } y <_s x <-> A. y e. A y <_s X ) ) |
8 |
3 7
|
mpbird |
|- ( ph -> A. y e. A E. x e. { X } y <_s x ) |
9 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B ) |
10 |
|
ssltss2 |
|- ( A < B C_ No ) |
11 |
1 10
|
syl |
|- ( ph -> B C_ No ) |
12 |
11
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. No ) |
13 |
|
slerflex |
|- ( x e. No -> x <_s x ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> x <_s x ) |
15 |
|
breq1 |
|- ( y = x -> ( y <_s x <-> x <_s x ) ) |
16 |
15
|
rspcev |
|- ( ( x e. B /\ x <_s x ) -> E. y e. B y <_s x ) |
17 |
9 14 16
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B y <_s x ) |
18 |
17
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. B E. y e. B y <_s x ) |
19 |
|
scutcut |
|- ( A < ( ( A |s B ) e. No /\ A < |
20 |
1 19
|
syl |
|- ( ph -> ( ( A |s B ) e. No /\ A < |
21 |
20
|
simp2d |
|- ( ph -> A < |
22 |
2
|
snssd |
|- ( ph -> { X } C_ A ) |
23 |
|
sssslt1 |
|- ( ( A < { X } < |
24 |
21 22 23
|
syl2anc |
|- ( ph -> { X } < |
25 |
20
|
simp3d |
|- ( ph -> { ( A |s B ) } < |
26 |
1 8 18 24 25
|
cofcut1d |
|- ( ph -> ( A |s B ) = ( { X } |s B ) ) |