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Theorem elpotr

Description: A class of transitive sets is partially ordered by _E . (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2010)

Ref Expression
Assertion elpotr 
|- ( A. z e. A Tr z -> _E Po A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 alral 
 |-  ( A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
2 1 alimi 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
3 alral 
 |-  ( A. x A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
4 2 3 syl 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5 4 ralimi 
 |-  ( A. z e. A A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. z e. A A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
6 ralcom 
 |-  ( A. z e. A A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
7 ralcom 
 |-  ( A. z e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
8 7 ralbii 
 |-  ( A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
9 6 8 bitri 
 |-  ( A. z e. A A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
10 5 9 sylib 
 |-  ( A. z e. A A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
11 dftr2 
 |-  ( Tr z <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
12 11 ralbii 
 |-  ( A. z e. A Tr z <-> A. z e. A A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
13 df-po 
 |-  ( _E Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
14 epel 
 |-  ( x _E y <-> x e. y )
15 epel 
 |-  ( y _E z <-> y e. z )
16 14 15 anbi12i 
 |-  ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
17 epel 
 |-  ( x _E z <-> x e. z )
18 16 17 imbi12i 
 |-  ( ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) <-> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
19 elirrv 
 |-  -. x e. x
20 epel 
 |-  ( x _E x <-> x e. x )
21 19 20 mtbir 
 |-  -. x _E x
22 21 biantrur 
 |-  ( ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) <-> ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
23 18 22 bitr3i 
 |-  ( ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
24 23 ralbii 
 |-  ( A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. z e. A ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
25 24 2ralbii 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
26 13 25 bitr4i 
 |-  ( _E Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
27 10 12 26 3imtr4i 
 |-  ( A. z e. A Tr z -> _E Po A )