Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqlkr.d |
|- D = ( Scalar ` W ) |
2 |
|
eqlkr.k |
|- K = ( Base ` D ) |
3 |
|
eqlkr.t |
|- .x. = ( .r ` D ) |
4 |
|
eqlkr.v |
|- V = ( Base ` W ) |
5 |
|
eqlkr.f |
|- F = ( LFnl ` W ) |
6 |
|
eqlkr.l |
|- L = ( LKer ` W ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
eqlkr |
|- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> E. r e. K A. x e. V ( H ` x ) = ( ( G ` x ) .x. r ) ) |
8 |
4
|
fvexi |
|- V e. _V |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> V e. _V ) |
10 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> W e. LVec ) |
11 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> G e. F ) |
12 |
1 2 4 5
|
lflf |
|- ( ( W e. LVec /\ G e. F ) -> G : V --> K ) |
13 |
10 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> G : V --> K ) |
14 |
13
|
ffnd |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> G Fn V ) |
15 |
|
vex |
|- r e. _V |
16 |
|
fnconstg |
|- ( r e. _V -> ( V X. { r } ) Fn V ) |
17 |
15 16
|
mp1i |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> ( V X. { r } ) Fn V ) |
18 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> H e. F ) |
19 |
1 2 4 5
|
lflf |
|- ( ( W e. LVec /\ H e. F ) -> H : V --> K ) |
20 |
10 18 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> H : V --> K ) |
21 |
20
|
ffnd |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> H Fn V ) |
22 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) /\ x e. V ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) ) |
23 |
15
|
fvconst2 |
|- ( x e. V -> ( ( V X. { r } ) ` x ) = r ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) /\ x e. V ) -> ( ( V X. { r } ) ` x ) = r ) |
25 |
9 14 17 21 22 24
|
offveqb |
|- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> ( H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) <-> A. x e. V ( H ` x ) = ( ( G ` x ) .x. r ) ) ) |
26 |
25
|
rexbidva |
|- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> ( E. r e. K H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) <-> E. r e. K A. x e. V ( H ` x ) = ( ( G ` x ) .x. r ) ) ) |
27 |
7 26
|
mpbird |
|- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> E. r e. K H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) ) |