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Theorem fmtno4nprmfac193

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021)

Ref Expression
Assertion fmtno4nprmfac193
|- -. ; ; 1 9 3 || ( FermatNo ` 4 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1nn0
 |-  1 e. NN0
2 9nn0
 |-  9 e. NN0
3 1 2 deccl
 |-  ; 1 9 e. NN0
4 3nn
 |-  3 e. NN
5 3 4 decnncl
 |-  ; ; 1 9 3 e. NN
6 3nn0
 |-  3 e. NN0
7 6 6 deccl
 |-  ; 3 3 e. NN0
8 7 2 deccl
 |-  ; ; 3 3 9 e. NN0
9 1nn
 |-  1 e. NN
10 1 9 decnncl
 |-  ; 1 1 e. NN
11 10 decnncl2
 |-  ; ; 1 1 0 e. NN
12 6nn0
 |-  6 e. NN0
13 5nn0
 |-  5 e. NN0
14 12 13 deccl
 |-  ; 6 5 e. NN0
15 4nn0
 |-  4 e. NN0
16 14 15 deccl
 |-  ; ; 6 5 4 e. NN0
17 2nn0
 |-  2 e. NN0
18 16 17 deccl
 |-  ; ; ; 6 5 4 2 e. NN0
19 7nn0
 |-  7 e. NN0
20 1 1 deccl
 |-  ; 1 1 e. NN0
21 0nn0
 |-  0 e. NN0
22 3 6 deccl
 |-  ; ; 1 9 3 e. NN0
23 eqid
 |-  ; ; 3 3 9 = ; ; 3 3 9
24 1 19 deccl
 |-  ; 1 7 e. NN0
25 24 6 deccl
 |-  ; ; 1 7 3 e. NN0
26 eqid
 |-  ; 3 3 = ; 3 3
27 eqid
 |-  ; ; 1 7 3 = ; ; 1 7 3
28 8nn0
 |-  8 e. NN0
29 13 28 deccl
 |-  ; 5 8 e. NN0
30 13 19 deccl
 |-  ; 5 7 e. NN0
31 eqid
 |-  ; ; 1 9 3 = ; ; 1 9 3
32 eqid
 |-  ; 1 9 = ; 1 9
33 3cn
 |-  3 e. CC
34 33 mulid2i
 |-  ( 1 x. 3 ) = 3
35 34 oveq1i
 |-  ( ( 1 x. 3 ) + 2 ) = ( 3 + 2 )
36 3p2e5
 |-  ( 3 + 2 ) = 5
37 35 36 eqtri
 |-  ( ( 1 x. 3 ) + 2 ) = 5
38 9t3e27
 |-  ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
39 6 1 2 32 19 17 37 38 decmul1c
 |-  ( ; 1 9 x. 3 ) = ; 5 7
40 3t3e9
 |-  ( 3 x. 3 ) = 9
41 6 3 6 31 39 40 decmul1
 |-  ( ; ; 1 9 3 x. 3 ) = ; ; 5 7 9
42 eqid
 |-  ; 1 7 = ; 1 7
43 eqid
 |-  ; 5 8 = ; 5 8
44 5cn
 |-  5 e. CC
45 ax-1cn
 |-  1 e. CC
46 5p1e6
 |-  ( 5 + 1 ) = 6
47 44 45 46 addcomli
 |-  ( 1 + 5 ) = 6
48 47 oveq1i
 |-  ( ( 1 + 5 ) + 1 ) = ( 6 + 1 )
49 6p1e7
 |-  ( 6 + 1 ) = 7
50 48 49 eqtri
 |-  ( ( 1 + 5 ) + 1 ) = 7
51 8cn
 |-  8 e. CC
52 7cn
 |-  7 e. CC
53 8p7e15
 |-  ( 8 + 7 ) = ; 1 5
54 51 52 53 addcomli
 |-  ( 7 + 8 ) = ; 1 5
55 1 19 13 28 42 43 50 13 54 decaddc
 |-  ( ; 1 7 + ; 5 8 ) = ; 7 5
56 4p1e5
 |-  ( 4 + 1 ) = 5
57 eqid
 |-  ; 5 7 = ; 5 7
58 7p7e14
 |-  ( 7 + 7 ) = ; 1 4
59 13 19 19 57 46 15 58 decaddci
 |-  ( ; 5 7 + 7 ) = ; 6 4
60 12 15 56 59 decsuc
 |-  ( ( ; 5 7 + 7 ) + 1 ) = ; 6 5
61 9p5e14
 |-  ( 9 + 5 ) = ; 1 4
62 30 2 19 13 41 55 60 15 61 decaddc
 |-  ( ( ; ; 1 9 3 x. 3 ) + ( ; 1 7 + ; 5 8 ) ) = ; ; 6 5 4
63 7p1e8
 |-  ( 7 + 1 ) = 8
64 13 19 63 57 decsuc
 |-  ( ; 5 7 + 1 ) = ; 5 8
65 9p3e12
 |-  ( 9 + 3 ) = ; 1 2
66 30 2 6 41 64 17 65 decaddci
 |-  ( ( ; ; 1 9 3 x. 3 ) + 3 ) = ; ; 5 8 2
67 6 6 24 6 26 27 22 17 29 62 66 decma2c
 |-  ( ( ; ; 1 9 3 x. ; 3 3 ) + ; ; 1 7 3 ) = ; ; ; 6 5 4 2
68 9cn
 |-  9 e. CC
69 68 mulid2i
 |-  ( 1 x. 9 ) = 9
70 69 oveq1i
 |-  ( ( 1 x. 9 ) + 8 ) = ( 9 + 8 )
71 9p8e17
 |-  ( 9 + 8 ) = ; 1 7
72 70 71 eqtri
 |-  ( ( 1 x. 9 ) + 8 ) = ; 1 7
73 9t9e81
 |-  ( 9 x. 9 ) = ; 8 1
74 2 1 2 32 1 28 72 73 decmul1c
 |-  ( ; 1 9 x. 9 ) = ; ; 1 7 1
75 1p2e3
 |-  ( 1 + 2 ) = 3
76 24 1 17 74 75 decaddi
 |-  ( ( ; 1 9 x. 9 ) + 2 ) = ; ; 1 7 3
77 68 33 38 mulcomli
 |-  ( 3 x. 9 ) = ; 2 7
78 2 3 6 31 19 17 76 77 decmul1c
 |-  ( ; ; 1 9 3 x. 9 ) = ; ; ; 1 7 3 7
79 22 7 2 23 19 25 67 78 decmul2c
 |-  ( ; ; 1 9 3 x. ; ; 3 3 9 ) = ; ; ; ; 6 5 4 2 7
80 eqid
 |-  ; ; 1 1 0 = ; ; 1 1 0
81 eqid
 |-  ; ; ; 6 5 4 2 = ; ; ; 6 5 4 2
82 eqid
 |-  ; 1 1 = ; 1 1
83 eqid
 |-  ; ; 6 5 4 = ; ; 6 5 4
84 14 15 56 83 decsuc
 |-  ( ; ; 6 5 4 + 1 ) = ; ; 6 5 5
85 2p1e3
 |-  ( 2 + 1 ) = 3
86 16 17 1 1 81 82 84 85 decadd
 |-  ( ; ; ; 6 5 4 2 + ; 1 1 ) = ; ; ; 6 5 5 3
87 52 addid1i
 |-  ( 7 + 0 ) = 7
88 18 19 20 21 79 80 86 87 decadd
 |-  ( ( ; ; 1 9 3 x. ; ; 3 3 9 ) + ; ; 1 1 0 ) = ; ; ; ; 6 5 5 3 7
89 10pos
 |-  0 < ; 1 0
90 9nn
 |-  9 e. NN
91 1lt9
 |-  1 < 9
92 1 1 90 91 declt
 |-  ; 1 1 < ; 1 9
93 20 3 21 6 89 92 decltc
 |-  ; ; 1 1 0 < ; ; 1 9 3
94 5 8 11 88 93 ndvdsi
 |-  -. ; ; 1 9 3 || ; ; ; ; 6 5 5 3 7
95 fmtno4
 |-  ( FermatNo ` 4 ) = ; ; ; ; 6 5 5 3 7
96 95 breq2i
 |-  ( ; ; 1 9 3 || ( FermatNo ` 4 ) <-> ; ; 1 9 3 || ; ; ; ; 6 5 5 3 7 )
97 94 96 mtbir
 |-  -. ; ; 1 9 3 || ( FermatNo ` 4 )