Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fnn0ind.1 |
|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) ) |
2 |
|
fnn0ind.2 |
|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) ) |
3 |
|
fnn0ind.3 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) ) |
4 |
|
fnn0ind.4 |
|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) ) |
5 |
|
fnn0ind.5 |
|- ( N e. NN0 -> ps ) |
6 |
|
fnn0ind.6 |
|- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) |
7 |
|
elnn0z |
|- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) ) |
8 |
|
nn0z |
|- ( N e. NN0 -> N e. ZZ ) |
9 |
|
0z |
|- 0 e. ZZ |
10 |
|
elnn0z |
|- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) ) |
11 |
10 5
|
sylbir |
|- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps ) |
12 |
11
|
3adant1 |
|- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps ) |
13 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
14 |
|
zre |
|- ( y e. ZZ -> y e. RR ) |
15 |
|
zre |
|- ( N e. ZZ -> N e. RR ) |
16 |
|
lelttr |
|- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 < N ) ) |
17 |
|
ltle |
|- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) ) |
18 |
17
|
3adant2 |
|- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) ) |
19 |
16 18
|
syld |
|- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) |
20 |
13 14 15 19
|
mp3an3an |
|- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) |
21 |
20
|
ex |
|- ( y e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) ) |
22 |
21
|
com23 |
|- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) ) |
23 |
22
|
3impib |
|- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) |
24 |
23
|
impcom |
|- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> 0 <_ N ) |
25 |
|
elnn0z |
|- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) ) |
26 |
25
|
anbi1i |
|- ( ( y e. NN0 /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) |
27 |
6
|
3expb |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( y e. NN0 /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) ) |
28 |
10 26 27
|
syl2anbr |
|- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) /\ ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) ) |
29 |
28
|
expcom |
|- ( ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) |
30 |
29
|
3impa |
|- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) |
31 |
30
|
expd |
|- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) ) |
32 |
31
|
impcom |
|- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) |
33 |
24 32
|
mpd |
|- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) ) |
34 |
33
|
adantll |
|- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) ) |
35 |
1 2 3 4 12 34
|
fzind |
|- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta ) |
36 |
9 35
|
mpanl1 |
|- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta ) |
37 |
36
|
expcom |
|- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ta ) ) |
38 |
8 37
|
syl5 |
|- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) ) |
39 |
38
|
3expa |
|- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) ) |
40 |
7 39
|
sylanb |
|- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) ) |
41 |
40
|
impcom |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ta ) |
42 |
41
|
3impb |
|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta ) |