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Theorem fzind

Description: Induction on the integers from M to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011)

Ref Expression
Hypotheses fzind.1 
|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind.2 
|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind.3 
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind.4 
|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind.5 
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
fzind.6 
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
Assertion fzind 
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fzind.1 
 |-  ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
2 fzind.2 
 |-  ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
3 fzind.3 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
4 fzind.4 
 |-  ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
5 fzind.5 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
6 fzind.6 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
7 breq1 
 |-  ( x = M -> ( x <_ N <-> M <_ N ) )
8 7 anbi2d 
 |-  ( x = M -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
9 8 1 imbi12d 
 |-  ( x = M -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) ) )
10 breq1 
 |-  ( x = y -> ( x <_ N <-> y <_ N ) )
11 10 anbi2d 
 |-  ( x = y -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
12 11 2 imbi12d 
 |-  ( x = y -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) ) )
13 breq1 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
14 13 anbi2d 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
15 14 3 imbi12d 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
16 breq1 
 |-  ( x = K -> ( x <_ N <-> K <_ N ) )
17 16 anbi2d 
 |-  ( x = K -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
18 17 4 imbi12d 
 |-  ( x = K -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) ) )
19 5 3expib 
 |-  ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) )
20 zre 
 |-  ( y e. ZZ -> y e. RR )
21 zre 
 |-  ( N e. ZZ -> N e. RR )
22 p1le 
 |-  ( ( y e. RR /\ N e. RR /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> y <_ N )
23 22 3expia 
 |-  ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
24 20 21 23 syl2an 
 |-  ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
25 24 imdistanda 
 |-  ( y e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
26 25 imim1d 
 |-  ( y e. ZZ -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
27 26 3ad2ant2 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
28 zltp1le 
 |-  ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
29 28 adantlr 
 |-  ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
30 29 expcom 
 |-  ( N e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) ) )
31 30 pm5.32d 
 |-  ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
32 31 adantl 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
33 6 expcom 
 |-  ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
34 33 3expa 
 |-  ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
35 34 com12 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
36 32 35 sylbird 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
37 36 ex 
 |-  ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) )
38 37 com23 
 |-  ( M e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
39 38 expd 
 |-  ( M e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) ) )
40 39 3impib 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
41 40 impcomd 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
42 41 a2d 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
43 27 42 syld 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
44 9 12 15 18 19 43 uzind 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) )
45 44 expcomd 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
46 45 3expb 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K ) ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
47 46 expcom 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( M e. ZZ -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
48 47 com23 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
49 48 3impia 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
50 49 impd 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ta ) )
51 50 impcom 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )