Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isperp.p |
|- P = ( Base ` G ) |
2 |
|
isperp.d |
|- .- = ( dist ` G ) |
3 |
|
isperp.i |
|- I = ( Itv ` G ) |
4 |
|
isperp.l |
|- L = ( LineG ` G ) |
5 |
|
isperp.g |
|- ( ph -> G e. TarskiG ) |
6 |
|
isperp.a |
|- ( ph -> A e. ran L ) |
7 |
|
foot.x |
|- ( ph -> C e. P ) |
8 |
|
foot.y |
|- ( ph -> -. C e. A ) |
9 |
|
eqid |
|- ( pInvG ` G ) = ( pInvG ` G ) |
10 |
5
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> G e. TarskiG ) |
12 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
14 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
15 |
|
eqid |
|- ( ( pInvG ` G ) ` x ) = ( ( pInvG ` G ) ` x ) |
16 |
7
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> C e. P ) |
17 |
16
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> C e. P ) |
18 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> C e. P ) |
19 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> d e. P ) |
20 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> y e. P ) |
21 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> y e. P ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> y e. P ) |
23 |
22
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. P ) |
24 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- d ) = ( y .- C ) ) |
25 |
24
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- C ) = ( y .- d ) ) |
26 |
1 2 3 4 9 14 15 18 19 23 25
|
midexlem |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> E. x e. P d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) |
27 |
12
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
28 |
6
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> A e. ran L ) |
29 |
28
|
ad9antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> A e. ran L ) |
30 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> C e. P ) |
31 |
8
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> -. C e. A ) |
32 |
31
|
ad10antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> -. C e. A ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> -. C e. A ) |
34 |
|
simp-7r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> a e. P ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> a e. P ) |
36 |
35
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> a e. P ) |
37 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> b e. P ) |
38 |
37
|
ad10antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> b e. P ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> b e. P ) |
40 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> p e. P ) |
41 |
40
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> p e. P ) |
42 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> x e. P ) |
43 |
21
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. P ) |
44 |
|
simp-7r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> z e. P ) |
45 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> d e. P ) |
46 |
|
simp-11r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) |
47 |
46
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> A = ( a L b ) ) |
48 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> A = ( a L b ) ) |
49 |
46
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a =/= b ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> a =/= b ) |
51 |
|
simp-9r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) |
52 |
51
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a e. ( b I y ) ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> a e. ( b I y ) ) |
54 |
51
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( a .- y ) = ( a .- C ) ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( a .- y ) = ( a .- C ) ) |
56 |
|
simp-7r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) |
58 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) |
59 |
58
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( a I z ) ) |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( a I z ) ) |
61 |
58
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- z ) = ( y .- p ) ) |
62 |
61
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( y .- z ) = ( y .- p ) ) |
63 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> q e. P ) |
64 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) |
65 |
64
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( p I q ) ) |
66 |
65
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( p I q ) ) |
67 |
64
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- q ) = ( y .- a ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( y .- q ) = ( y .- a ) ) |
69 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) ) |
70 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( y .- d ) = ( y .- C ) ) |
71 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) |
72 |
1 2 3 4 27 29 30 33 36 39 41 42 43 44 45 48 50 53 55 57 60 62 63 66 68 69 70 71
|
footexlem1 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> x e. A ) |
73 |
1 2 3 4 27 29 30 33 36 39 41 42 43 44 45 48 50 53 55 57 60 62 63 66 68 69 70 71
|
footexlem2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( ( pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
74 |
26 72 73
|
reximssdv |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
75 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> z e. P ) |
76 |
|
eqid |
|- ( ( pInvG ` G ) ` z ) = ( ( pInvG ` G ) ` z ) |
77 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> q e. P ) |
78 |
1 2 3 4 9 13 75 76 77
|
mircl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) e. P ) |
79 |
1 2 3 13 78 22 22 17
|
axtgsegcon |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> E. d e. P ( y e. ( ( ( ( pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) |
80 |
74 79
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
81 |
1 2 3 12 40 21 21 35
|
axtgsegcon |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> E. q e. P ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) |
82 |
80 81
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
83 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> p e. P ) |
84 |
1 2 3 11 34 20 20 83
|
axtgsegcon |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> E. z e. P ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) |
85 |
82 84
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
86 |
|
eqid |
|- ( ( pInvG ` G ) ` p ) = ( ( pInvG ` G ) ` p ) |
87 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> y e. P ) |
88 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> a e. P ) |
89 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> ( a .- y ) = ( a .- C ) ) |
90 |
1 2 3 4 9 10 86 87 16 88 89
|
midexlem |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> E. p e. P C = ( ( ( pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) |
91 |
85 90
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
92 |
5
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> G e. TarskiG ) |
93 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> a e. P ) |
94 |
7
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> C e. P ) |
95 |
1 2 3 92 37 93 93 94
|
axtgsegcon |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> E. y e. P ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) |
96 |
91 95
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |
97 |
1 3 4 5 6
|
tgisline |
|- ( ph -> E. a e. P E. b e. P ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) |
98 |
96 97
|
r19.29vva |
|- ( ph -> E. x e. A ( C L x ) ( perpG ` G ) A ) |