Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fprod2d.1 |
|- ( z = <. j , k >. -> D = C ) |
2 |
|
fprod2d.2 |
|- ( ph -> A e. Fin ) |
3 |
|
fprod2d.3 |
|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin ) |
4 |
|
fprod2d.4 |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC ) |
5 |
|
ssid |
|- A C_ A |
6 |
|
sseq1 |
|- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) ) |
7 |
|
prodeq1 |
|- ( w = (/) -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. (/) prod_ k e. B C ) |
8 |
|
iuneq1 |
|- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) ) |
9 |
|
0iun |
|- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/) |
10 |
8 9
|
eqtrdi |
|- ( w = (/) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = (/) ) |
11 |
10
|
prodeq1d |
|- ( w = (/) -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. (/) D ) |
12 |
7 11
|
eqeq12d |
|- ( w = (/) -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) |
13 |
6 12
|
imbi12d |
|- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) ) |
14 |
13
|
imbi2d |
|- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) ) ) |
15 |
|
sseq1 |
|- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) ) |
16 |
|
prodeq1 |
|- ( w = x -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. x prod_ k e. B C ) |
17 |
|
iuneq1 |
|- ( w = x -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. x ( { j } X. B ) ) |
18 |
17
|
prodeq1d |
|- ( w = x -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) |
19 |
16 18
|
eqeq12d |
|- ( w = x -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) |
20 |
15 19
|
imbi12d |
|- ( w = x -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) |
21 |
20
|
imbi2d |
|- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) ) ) |
22 |
|
sseq1 |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) ) |
23 |
|
prodeq1 |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C ) |
24 |
|
iuneq1 |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) |
25 |
24
|
prodeq1d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) |
26 |
23 25
|
eqeq12d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) |
27 |
22 26
|
imbi12d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) |
28 |
27
|
imbi2d |
|- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) ) |
29 |
|
sseq1 |
|- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) ) |
30 |
|
prodeq1 |
|- ( w = A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ j e. A prod_ k e. B C ) |
31 |
|
iuneq1 |
|- ( w = A -> U_ j e. w ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) ) |
32 |
31
|
prodeq1d |
|- ( w = A -> prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) |
33 |
30 32
|
eqeq12d |
|- ( w = A -> ( prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) |
34 |
29 33
|
imbi12d |
|- ( w = A -> ( ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) <-> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) |
35 |
34
|
imbi2d |
|- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> prod_ j e. w prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. w ( { j } X. B ) D ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) ) |
36 |
|
prod0 |
|- prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = 1 |
37 |
|
prod0 |
|- prod_ z e. (/) D = 1 |
38 |
36 37
|
eqtr4i |
|- prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D |
39 |
38
|
2a1i |
|- ( ph -> ( (/) C_ A -> prod_ j e. (/) prod_ k e. B C = prod_ z e. (/) D ) ) |
40 |
|
ssun1 |
|- x C_ ( x u. { y } ) |
41 |
|
sstr |
|- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A ) |
42 |
40 41
|
mpan |
|- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A ) |
43 |
42
|
imim1i |
|- ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) |
44 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A e. Fin ) |
45 |
3
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ j e. A ) -> B e. Fin ) |
46 |
4
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC ) |
47 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x ) |
48 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A ) |
49 |
|
biid |
|- ( prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) |
50 |
1 44 45 46 47 48 49
|
fprod2dlem |
|- ( ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) |
51 |
50
|
exp31 |
|- ( ( ph /\ -. y e. x ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) |
52 |
51
|
a2d |
|- ( ( ph /\ -. y e. x ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) |
53 |
43 52
|
syl5 |
|- ( ( ph /\ -. y e. x ) -> ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) |
54 |
53
|
expcom |
|- ( -. y e. x -> ( ph -> ( ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) ) |
55 |
54
|
a2d |
|- ( -. y e. x -> ( ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) ) |
56 |
55
|
adantl |
|- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D ) ) ) ) |
57 |
14 21 28 35 39 56
|
findcard2s |
|- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) ) |
58 |
2 57
|
mpcom |
|- ( ph -> ( A C_ A -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) ) |
59 |
5 58
|
mpi |
|- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) D ) |