Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frlmphl.y |
|- Y = ( R freeLMod I ) |
2 |
|
frlmphl.b |
|- B = ( Base ` R ) |
3 |
|
frlmphl.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
4 |
|
frlmphl.v |
|- V = ( Base ` Y ) |
5 |
|
frlmphl.j |
|- ., = ( .i ` Y ) |
6 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
|- ( ( I e. W /\ F e. V ) -> F e. ( B ^m I ) ) |
7 |
6
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> F e. ( B ^m I ) ) |
8 |
|
elmapi |
|- ( F e. ( B ^m I ) -> F : I --> B ) |
9 |
|
ffn |
|- ( F : I --> B -> F Fn I ) |
10 |
7 8 9
|
3syl |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> F Fn I ) |
11 |
1 2 4
|
frlmbasmap |
|- ( ( I e. W /\ G e. V ) -> G e. ( B ^m I ) ) |
12 |
11
|
ad2ant2rl |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> G e. ( B ^m I ) ) |
13 |
|
elmapi |
|- ( G e. ( B ^m I ) -> G : I --> B ) |
14 |
|
ffn |
|- ( G : I --> B -> G Fn I ) |
15 |
12 13 14
|
3syl |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> G Fn I ) |
16 |
|
simpll |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> I e. W ) |
17 |
|
inidm |
|- ( I i^i I ) = I |
18 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) ) |
19 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) ) |
20 |
10 15 16 16 17 18 19
|
offval |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( F oF .x. G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) |
21 |
20
|
oveq2d |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( R gsum ( F oF .x. G ) ) = ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) ) |
22 |
|
ovexd |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) e. _V ) |
23 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
|- ( f = F -> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) = ( ( F ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) |
25 |
24
|
mpteq2dv |
|- ( f = F -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( f = F -> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) = ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) |
27 |
|
fveq1 |
|- ( g = G -> ( g ` x ) = ( G ` x ) ) |
28 |
27
|
oveq2d |
|- ( g = G -> ( ( F ` x ) .x. ( g ` x ) ) = ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) |
29 |
28
|
mpteq2dv |
|- ( g = G -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
|- ( g = G -> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) = ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) ) |
31 |
|
eqid |
|- ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) |
32 |
26 30 31
|
ovmpog |
|- ( ( F e. ( B ^m I ) /\ G e. ( B ^m I ) /\ ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) e. _V ) -> ( F ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) G ) = ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) ) |
33 |
7 12 22 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( F ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) G ) = ( R gsum ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` x ) ) ) ) ) |
34 |
1 2 3
|
frlmip |
|- ( ( I e. W /\ R e. X ) -> ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) = ( .i ` Y ) ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) = ( .i ` Y ) ) |
36 |
35 5
|
eqtr4di |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) = ., ) |
37 |
36
|
oveqd |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( F ( f e. ( B ^m I ) , g e. ( B ^m I ) |-> ( R gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` x ) ) ) ) ) G ) = ( F ., G ) ) |
38 |
21 33 37
|
3eqtr2rd |
|- ( ( ( I e. W /\ R e. X ) /\ ( F e. V /\ G e. V ) ) -> ( F ., G ) = ( R gsum ( F oF .x. G ) ) ) |