Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fzind2.1 |
|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) ) |
2 |
|
fzind2.2 |
|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) ) |
3 |
|
fzind2.3 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) ) |
4 |
|
fzind2.4 |
|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) ) |
5 |
|
fzind2.5 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps ) |
6 |
|
fzind2.6 |
|- ( y e. ( M ..^ N ) -> ( ch -> th ) ) |
7 |
|
elfz2 |
|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) |
8 |
|
anass |
|- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) |
9 |
|
df-3an |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) ) |
10 |
9
|
anbi1i |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) |
11 |
|
3anass |
|- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) |
12 |
11
|
anbi2i |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) |
13 |
8 10 12
|
3bitr4i |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) ) |
14 |
7 13
|
bitri |
|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) ) |
15 |
|
eluz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) |
16 |
15 5
|
sylbir |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) |
17 |
|
3anass |
|- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) <-> ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) ) |
18 |
|
elfzo |
|- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y e. ( M ..^ N ) <-> ( M <_ y /\ y < N ) ) ) |
19 |
18 6
|
syl6bir |
|- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) ) |
20 |
19
|
3coml |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) ) |
21 |
20
|
3expa |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) ) |
22 |
21
|
impr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) ) -> ( ch -> th ) ) |
23 |
17 22
|
sylan2b |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) ) |
24 |
1 2 3 4 16 23
|
fzind |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta ) |
25 |
14 24
|
sylbi |
|- ( K e. ( M ... N ) -> ta ) |