Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gapm.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
gapm.2 |
|- F = ( x e. Y |-> ( A .(+) x ) ) |
3 |
1
|
gaf |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
4 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ x e. Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
5 |
|
simplr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ x e. Y ) -> A e. X ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ x e. Y ) -> x e. Y ) |
7 |
4 5 6
|
fovrnd |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ x e. Y ) -> ( A .(+) x ) e. Y ) |
8 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ y e. Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
9 |
|
gagrp |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp ) |
10 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ y e. Y ) -> G e. Grp ) |
11 |
|
simplr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ y e. Y ) -> A e. X ) |
12 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
13 |
1 12
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X ) |
14 |
10 11 13
|
syl2anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ y e. Y ) -> y e. Y ) |
16 |
8 14 15
|
fovrnd |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) e. Y ) |
17 |
|
simpll |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) ) |
18 |
|
simplr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> A e. X ) |
19 |
|
simprl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> x e. Y ) |
20 |
|
simprr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> y e. Y ) |
21 |
1 12
|
gacan |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( A .(+) x ) = y <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) = x ) ) |
22 |
17 18 19 20 21
|
syl13anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( A .(+) x ) = y <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) = x ) ) |
23 |
22
|
bicomd |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) = x <-> ( A .(+) x ) = y ) ) |
24 |
|
eqcom |
|- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) = x ) |
25 |
|
eqcom |
|- ( y = ( A .(+) x ) <-> ( A .(+) x ) = y ) |
26 |
23 24 25
|
3bitr4g |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .(+) y ) <-> y = ( A .(+) x ) ) ) |
27 |
2 7 16 26
|
f1o2d |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. X ) -> F : Y -1-1-onto-> Y ) |