Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
galcan.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
gacan.2 |
|- N = ( invg ` G ) |
3 |
|
gagrp |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> G e. Grp ) |
5 |
|
simpr1 |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> A e. X ) |
6 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
7 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
8 |
1 6 7 2
|
grprinv |
|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( A ( +g ` G ) ( N ` A ) ) = ( 0g ` G ) ) |
9 |
4 5 8
|
syl2anc |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( A ( +g ` G ) ( N ` A ) ) = ( 0g ` G ) ) |
10 |
9
|
oveq1d |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( A ( +g ` G ) ( N ` A ) ) .(+) C ) = ( ( 0g ` G ) .(+) C ) ) |
11 |
|
simpl |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) ) |
12 |
1 2
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( N ` A ) e. X ) |
13 |
4 5 12
|
syl2anc |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( N ` A ) e. X ) |
14 |
|
simpr3 |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> C e. Y ) |
15 |
1 6
|
gaass |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ ( N ` A ) e. X /\ C e. Y ) ) -> ( ( A ( +g ` G ) ( N ` A ) ) .(+) C ) = ( A .(+) ( ( N ` A ) .(+) C ) ) ) |
16 |
11 5 13 14 15
|
syl13anc |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( A ( +g ` G ) ( N ` A ) ) .(+) C ) = ( A .(+) ( ( N ` A ) .(+) C ) ) ) |
17 |
7
|
gagrpid |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ C e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) C ) = C ) |
18 |
11 14 17
|
syl2anc |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) C ) = C ) |
19 |
10 16 18
|
3eqtr3d |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( A .(+) ( ( N ` A ) .(+) C ) ) = C ) |
20 |
19
|
eqeq2d |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( A .(+) B ) = ( A .(+) ( ( N ` A ) .(+) C ) ) <-> ( A .(+) B ) = C ) ) |
21 |
|
simpr2 |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> B e. Y ) |
22 |
1
|
gaf |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
24 |
23 13 14
|
fovrnd |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( N ` A ) .(+) C ) e. Y ) |
25 |
1
|
galcan |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ ( ( N ` A ) .(+) C ) e. Y ) ) -> ( ( A .(+) B ) = ( A .(+) ( ( N ` A ) .(+) C ) ) <-> B = ( ( N ` A ) .(+) C ) ) ) |
26 |
11 5 21 24 25
|
syl13anc |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( A .(+) B ) = ( A .(+) ( ( N ` A ) .(+) C ) ) <-> B = ( ( N ` A ) .(+) C ) ) ) |
27 |
20 26
|
bitr3d |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( A .(+) B ) = C <-> B = ( ( N ` A ) .(+) C ) ) ) |
28 |
|
eqcom |
|- ( B = ( ( N ` A ) .(+) C ) <-> ( ( N ` A ) .(+) C ) = B ) |
29 |
27 28
|
bitrdi |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Y ) ) -> ( ( A .(+) B ) = C <-> ( ( N ` A ) .(+) C ) = B ) ) |