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Theorem grprinvlem

Description: Lemma for grprinvd . (Contributed by NM, 9-Aug-2013)

Ref Expression
Hypotheses grprinvlem.c
|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
grprinvlem.o
|- ( ph -> O e. B )
grprinvlem.i
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
grprinvlem.a
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
grprinvlem.n
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
grprinvlem.x
|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
grprinvlem.e
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
Assertion grprinvlem
|- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grprinvlem.c
 |-  ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2 grprinvlem.o
 |-  ( ph -> O e. B )
3 grprinvlem.i
 |-  ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
4 grprinvlem.a
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
5 grprinvlem.n
 |-  ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
6 grprinvlem.x
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
7 grprinvlem.e
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
8 5 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O )
9 oveq2
 |-  ( x = z -> ( y .+ x ) = ( y .+ z ) )
10 9 eqeq1d
 |-  ( x = z -> ( ( y .+ x ) = O <-> ( y .+ z ) = O ) )
11 10 rexbidv
 |-  ( x = z -> ( E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> E. y e. B ( y .+ z ) = O ) )
12 11 cbvralvw
 |-  ( A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
13 8 12 sylib
 |-  ( ph -> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
14 oveq2
 |-  ( z = X -> ( y .+ z ) = ( y .+ X ) )
15 14 eqeq1d
 |-  ( z = X -> ( ( y .+ z ) = O <-> ( y .+ X ) = O ) )
16 15 rexbidv
 |-  ( z = X -> ( E. y e. B ( y .+ z ) = O <-> E. y e. B ( y .+ X ) = O ) )
17 16 rspccva
 |-  ( ( A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
18 13 6 17 syl2an2r
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
19 7 oveq2d
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
20 19 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
21 simprr
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ X ) = O )
22 21 oveq1d
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( O .+ X ) )
23 4 caovassg
 |-  ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
24 23 ad4ant14
 |-  ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
25 simprl
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> y e. B )
26 6 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X e. B )
27 24 25 26 26 caovassd
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( y .+ ( X .+ X ) ) )
28 oveq2
 |-  ( y = X -> ( O .+ y ) = ( O .+ X ) )
29 id
 |-  ( y = X -> y = X )
30 28 29 eqeq12d
 |-  ( y = X -> ( ( O .+ y ) = y <-> ( O .+ X ) = X ) )
31 3 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. x e. B ( O .+ x ) = x )
32 oveq2
 |-  ( x = y -> ( O .+ x ) = ( O .+ y ) )
33 id
 |-  ( x = y -> x = y )
34 32 33 eqeq12d
 |-  ( x = y -> ( ( O .+ x ) = x <-> ( O .+ y ) = y ) )
35 34 cbvralvw
 |-  ( A. x e. B ( O .+ x ) = x <-> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
36 31 35 sylib
 |-  ( ph -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
37 36 adantr
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
38 30 37 6 rspcdva
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( O .+ X ) = X )
39 38 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( O .+ X ) = X )
40 22 27 39 3eqtr3d
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = X )
41 20 40 21 3eqtr3d
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X = O )
42 18 41 rexlimddv
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> X = O )