Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgcnlem.r |
|- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) |
2 |
|
itgcnlem.s |
|- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) |
3 |
|
itgcnlem.t |
|- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) |
4 |
|
itgcnlem.u |
|- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) |
5 |
|
itgcnlem1.v |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
6 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) |
7 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) |
8 |
6 7 5
|
isibl2 |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
9 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
10 |
|
1ex |
|- 1 e. _V |
11 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
12 |
|
exp0 |
|- ( _i e. CC -> ( _i ^ 0 ) = 1 ) |
13 |
11 12
|
ax-mp |
|- ( _i ^ 0 ) = 1 |
14 |
13
|
itgvallem |
|- ( k = 0 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( k = 0 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
16 |
|
exp1 |
|- ( _i e. CC -> ( _i ^ 1 ) = _i ) |
17 |
11 16
|
ax-mp |
|- ( _i ^ 1 ) = _i |
18 |
17
|
itgvallem |
|- ( k = 1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) ) |
19 |
18
|
eleq1d |
|- ( k = 1 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
20 |
9 10 15 19
|
ralpr |
|- ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
21 |
5
|
div1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B / 1 ) = B ) |
22 |
21
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / 1 ) ) = ( Re ` B ) ) |
23 |
22
|
ibllem |
|- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) |
24 |
23
|
mpteq2dv |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) |
25 |
24
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) ) |
26 |
25 1
|
eqtr4di |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) = R ) |
27 |
26
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> R e. RR ) ) |
28 |
|
imval |
|- ( B e. CC -> ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / _i ) ) ) |
29 |
5 28
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / _i ) ) ) |
30 |
29
|
ibllem |
|- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) |
31 |
30
|
mpteq2dv |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) |
32 |
31
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) ) |
33 |
3 32
|
eqtr2id |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) = T ) |
34 |
33
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> T e. RR ) ) |
35 |
27 34
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( R e. RR /\ T e. RR ) ) ) |
36 |
20 35
|
syl5bb |
|- ( ph -> ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( R e. RR /\ T e. RR ) ) ) |
37 |
|
2ex |
|- 2 e. _V |
38 |
|
3ex |
|- 3 e. _V |
39 |
|
i2 |
|- ( _i ^ 2 ) = -u 1 |
40 |
39
|
itgvallem |
|- ( k = 2 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) |
41 |
40
|
eleq1d |
|- ( k = 2 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
42 |
|
i3 |
|- ( _i ^ 3 ) = -u _i |
43 |
42
|
itgvallem |
|- ( k = 3 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) ) |
44 |
43
|
eleq1d |
|- ( k = 3 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
45 |
37 38 41 44
|
ralpr |
|- ( A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
46 |
5
|
renegd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = -u ( Re ` B ) ) |
47 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
48 |
47
|
negnegi |
|- -u -u 1 = 1 |
49 |
48
|
oveq2i |
|- ( -u B / -u -u 1 ) = ( -u B / 1 ) |
50 |
5
|
negcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. CC ) |
51 |
50
|
div1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / 1 ) = -u B ) |
52 |
49 51
|
eqtrid |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = -u B ) |
53 |
47
|
negcli |
|- -u 1 e. CC |
54 |
|
neg1ne0 |
|- -u 1 =/= 0 |
55 |
|
div2neg |
|- ( ( B e. CC /\ -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) ) |
56 |
53 54 55
|
mp3an23 |
|- ( B e. CC -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) ) |
57 |
5 56
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) ) |
58 |
52 57
|
eqtr3d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B = ( B / -u 1 ) ) |
59 |
58
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) |
60 |
46 59
|
eqtr3d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` B ) = ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) |
61 |
60
|
ibllem |
|- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) |
62 |
61
|
mpteq2dv |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) |
63 |
62
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) ) |
64 |
2 63
|
eqtr2id |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) = S ) |
65 |
64
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> S e. RR ) ) |
66 |
|
imval |
|- ( -u B e. CC -> ( Im ` -u B ) = ( Re ` ( -u B / _i ) ) ) |
67 |
50 66
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = ( Re ` ( -u B / _i ) ) ) |
68 |
5
|
imnegd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) ) |
69 |
11
|
negnegi |
|- -u -u _i = _i |
70 |
69
|
eqcomi |
|- _i = -u -u _i |
71 |
70
|
oveq2i |
|- ( -u B / _i ) = ( -u B / -u -u _i ) |
72 |
11
|
negcli |
|- -u _i e. CC |
73 |
|
ine0 |
|- _i =/= 0 |
74 |
11 73
|
negne0i |
|- -u _i =/= 0 |
75 |
|
div2neg |
|- ( ( B e. CC /\ -u _i e. CC /\ -u _i =/= 0 ) -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) ) |
76 |
72 74 75
|
mp3an23 |
|- ( B e. CC -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) ) |
77 |
5 76
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) ) |
78 |
71 77
|
eqtrid |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / _i ) = ( B / -u _i ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( -u B / _i ) ) = ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) |
80 |
67 68 79
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) |
81 |
80
|
ibllem |
|- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) |
82 |
81
|
mpteq2dv |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) |
83 |
82
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) ) |
84 |
4 83
|
eqtr2id |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) = U ) |
85 |
84
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> U e. RR ) ) |
86 |
65 85
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( S e. RR /\ U e. RR ) ) ) |
87 |
45 86
|
syl5bb |
|- ( ph -> ( A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S e. RR /\ U e. RR ) ) ) |
88 |
36 87
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( R e. RR /\ T e. RR ) /\ ( S e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) |
89 |
|
fz0to3un2pr |
|- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) |
90 |
89
|
raleqi |
|- ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
91 |
|
ralunb |
|- ( A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
92 |
90 91
|
bitri |
|- ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
93 |
|
an4 |
|- ( ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) <-> ( ( R e. RR /\ T e. RR ) /\ ( S e. RR /\ U e. RR ) ) ) |
94 |
88 92 93
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) |
95 |
94
|
anbi2d |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) ) |
96 |
|
3anass |
|- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) |
97 |
95 96
|
bitr4di |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) |
98 |
8 97
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) |