Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano2nn |
|- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. NN ) |
2 |
|
iccpart |
|- ( ( M + 1 ) e. NN -> ( P e. ( RePart ` ( M + 1 ) ) <-> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( M e. NN -> ( P e. ( RePart ` ( M + 1 ) ) <-> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
4 |
|
simpl |
|- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) ) |
5 |
|
nnz |
|- ( M e. NN -> M e. ZZ ) |
6 |
|
uzid |
|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
|- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` M ) ) |
8 |
|
peano2uz |
|- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
10 |
|
fzss2 |
|- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( M e. NN -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) |
12 |
|
elmapssres |
|- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) ) |
13 |
4 11 12
|
syl2anr |
|- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) ) |
14 |
|
fzoss2 |
|- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ..^ M ) C_ ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ) |
15 |
9 14
|
syl |
|- ( M e. NN -> ( 0 ..^ M ) C_ ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ) |
16 |
|
ssralv |
|- ( ( 0 ..^ M ) C_ ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( M e. NN -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) |
18 |
17
|
adantld |
|- ( M e. NN -> ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) |
20 |
|
fzossfz |
|- ( 0 ..^ M ) C_ ( 0 ... M ) |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) -> ( 0 ..^ M ) C_ ( 0 ... M ) ) |
22 |
21
|
sselda |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) ) |
23 |
|
fvres |
|- ( i e. ( 0 ... M ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) = ( P ` i ) ) |
24 |
23
|
eqcomd |
|- ( i e. ( 0 ... M ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) ) |
25 |
22 24
|
syl |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ..^ M ) ) |
27 |
|
elfzouz |
|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
29 |
|
fzofzp1b |
|- ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) |
31 |
26 30
|
mpbid |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) |
32 |
|
fvres |
|- ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( i + 1 ) ) ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( i + 1 ) ) ) |
34 |
33
|
eqcomd |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) |
35 |
25 34
|
breq12d |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) |
36 |
35
|
biimpd |
|- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) |
37 |
36
|
ralimdva |
|- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) |
38 |
37
|
ex |
|- ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) -> ( M e. NN -> ( A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> ( M e. NN -> ( A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
40 |
39
|
impcom |
|- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) |
41 |
19 40
|
mpd |
|- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) |
42 |
|
iccpart |
|- ( M e. NN -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RePart ` M ) <-> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RePart ` M ) <-> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
44 |
13 41 43
|
mpbir2and |
|- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RePart ` M ) ) |
45 |
44
|
ex |
|- ( M e. NN -> ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RePart ` M ) ) ) |
46 |
3 45
|
sylbid |
|- ( M e. NN -> ( P e. ( RePart ` ( M + 1 ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RePart ` M ) ) ) |
47 |
46
|
imp |
|- ( ( M e. NN /\ P e. ( RePart ` ( M + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RePart ` M ) ) |