Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isbnd3 |
|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) ) |
2 |
|
metf |
|- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR ) |
3 |
2
|
adantr |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> RR ) |
4 |
|
ffn |
|- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) ) |
5 |
|
ffnov |
|- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) ) |
6 |
5
|
baib |
|- ( M Fn ( X X. X ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) ) |
7 |
3 4 6
|
3syl |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) ) |
8 |
|
0red |
|- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 e. RR ) |
9 |
|
simplr |
|- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. RR ) |
10 |
|
metcl |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR ) |
11 |
10
|
3expb |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR ) |
12 |
11
|
adantlr |
|- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR ) |
13 |
|
metge0 |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( y M z ) ) |
14 |
13
|
3expb |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) ) |
15 |
14
|
adantlr |
|- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) ) |
16 |
|
elicc2 |
|- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) ) |
17 |
|
df-3an |
|- ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) |
18 |
16 17
|
syl6bb |
|- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) ) |
19 |
18
|
baibd |
|- ( ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) /\ ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) ) |
20 |
8 9 12 15 19
|
syl22anc |
|- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) ) |
21 |
20
|
2ralbidva |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) ) |
22 |
7 21
|
bitrd |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) ) |
23 |
22
|
rexbidva |
|- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) ) |
24 |
23
|
pm5.32i |
|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) ) |
25 |
1 24
|
bitri |
|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) ) |