Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isring.1 |
|- X = ran G |
2 |
|
df-br |
|- ( G RingOps H <-> <. G , H >. e. RingOps ) |
3 |
|
relrngo |
|- Rel RingOps |
4 |
3
|
brrelex1i |
|- ( G RingOps H -> G e. _V ) |
5 |
2 4
|
sylbir |
|- ( <. G , H >. e. RingOps -> G e. _V ) |
6 |
5
|
a1i |
|- ( H e. A -> ( <. G , H >. e. RingOps -> G e. _V ) ) |
7 |
|
elex |
|- ( G e. AbelOp -> G e. _V ) |
8 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) -> G e. _V ) |
9 |
8
|
a1i |
|- ( H e. A -> ( ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) -> G e. _V ) ) |
10 |
|
df-rngo |
|- RingOps = { <. g , h >. | ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) } |
11 |
10
|
eleq2i |
|- ( <. G , H >. e. RingOps <-> <. G , H >. e. { <. g , h >. | ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) } ) |
12 |
|
simpl |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> g = G ) |
13 |
12
|
eleq1d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( g e. AbelOp <-> G e. AbelOp ) ) |
14 |
|
simpr |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> h = H ) |
15 |
12
|
rneqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ran g = ran G ) |
16 |
15 1
|
eqtr4di |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ran g = X ) |
17 |
16
|
sqxpeqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ran g X. ran g ) = ( X X. X ) ) |
18 |
14 17 16
|
feq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( h : ( ran g X. ran g ) --> ran g <-> H : ( X X. X ) --> X ) ) |
19 |
13 18
|
anbi12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) <-> ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) ) ) |
20 |
14
|
oveqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h y ) = ( x H y ) ) |
21 |
|
eqidd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> z = z ) |
22 |
14 20 21
|
oveq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h y ) h z ) = ( ( x H y ) H z ) ) |
23 |
|
eqidd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> x = x ) |
24 |
14
|
oveqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( y h z ) = ( y H z ) ) |
25 |
14 23 24
|
oveq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h ( y h z ) ) = ( x H ( y H z ) ) ) |
26 |
22 25
|
eqeq12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) <-> ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) ) ) |
27 |
12
|
oveqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( y g z ) = ( y G z ) ) |
28 |
14 23 27
|
oveq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h ( y g z ) ) = ( x H ( y G z ) ) ) |
29 |
14
|
oveqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h z ) = ( x H z ) ) |
30 |
12 20 29
|
oveq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h y ) g ( x h z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) ) |
31 |
28 30
|
eqeq12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) <-> ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) ) ) |
32 |
12
|
oveqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x g y ) = ( x G y ) ) |
33 |
14 32 21
|
oveq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x g y ) h z ) = ( ( x G y ) H z ) ) |
34 |
12 29 24
|
oveq123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h z ) g ( y h z ) ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) |
35 |
33 34
|
eqeq12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) <-> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) |
36 |
26 31 35
|
3anbi123d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) ) |
37 |
16 36
|
raleqbidv |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) ) |
38 |
16 37
|
raleqbidv |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) ) |
39 |
16 38
|
raleqbidv |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) ) |
40 |
20
|
eqeq1d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h y ) = y <-> ( x H y ) = y ) ) |
41 |
14
|
oveqd |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( y h x ) = ( y H x ) ) |
42 |
41
|
eqeq1d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( y h x ) = y <-> ( y H x ) = y ) ) |
43 |
40 42
|
anbi12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) <-> ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) |
44 |
16 43
|
raleqbidv |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) <-> A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) |
45 |
16 44
|
rexeqbidv |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) <-> E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) |
46 |
39 45
|
anbi12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) <-> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) |
47 |
19 46
|
anbi12d |
|- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) ) |
48 |
47
|
opelopabga |
|- ( ( G e. _V /\ H e. A ) -> ( <. G , H >. e. { <. g , h >. | ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) } <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) ) |
49 |
11 48
|
syl5bb |
|- ( ( G e. _V /\ H e. A ) -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) ) |
50 |
49
|
expcom |
|- ( H e. A -> ( G e. _V -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) ) ) |
51 |
6 9 50
|
pm5.21ndd |
|- ( H e. A -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) ) |