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Theorem istrkgld

Description: Property of fulfilling the lower dimension N axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019)

Ref Expression
Hypotheses istrkg.p 
|- P = ( Base ` G )
istrkg.d 
|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i 
|- I = ( Itv ` G )
Assertion istrkgld 
|- ( ( G e. V /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( G TarskiGDim>= N <-> E. f ( f : ( 1 ..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 istrkg.p 
 |-  P = ( Base ` G )
2 istrkg.d 
 |-  .- = ( dist ` G )
3 istrkg.i 
 |-  I = ( Itv ` G )
4 eqidd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> f = f )
5 eqidd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( 1 ..^ n ) = ( 1 ..^ n ) )
6 simp1 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> p = P )
7 6 eqcomd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> P = p )
8 4 5 7 f1eq123d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P <-> f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> p ) )
9 simp2 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> d = .- )
10 9 eqcomd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> .- = d )
11 10 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 1 ) d x ) )
12 10 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( f ` j ) d x ) )
13 11 12 eqeq12d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) ) )
14 10 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 1 ) d y ) )
15 10 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( f ` j ) d y ) )
16 14 15 eqeq12d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) ) )
17 10 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 1 ) d z ) )
18 10 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( f ` j ) d z ) )
19 17 18 eqeq12d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) )
20 13 16 19 3anbi123d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) ) )
21 20 ralbidv 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) ) )
22 simp3 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> i = I )
23 22 eqcomd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> I = i )
24 23 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x I y ) = ( x i y ) )
25 24 eleq2d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z e. ( x I y ) <-> z e. ( x i y ) ) )
26 23 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z I y ) = ( z i y ) )
27 26 eleq2d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x e. ( z I y ) <-> x e. ( z i y ) ) )
28 23 oveqd 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x I z ) = ( x i z ) )
29 28 eleq2d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( y e. ( x I z ) <-> y e. ( x i z ) ) )
30 25 27 29 3orbi123d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
31 30 notbid 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
32 21 31 anbi12d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
33 7 32 rexeqbidv 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
34 7 33 rexeqbidv 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
35 7 34 rexeqbidv 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
36 8 35 anbi12d 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) ) )
37 36 exbidv 
 |-  ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. f ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) ) )
38 1 2 3 37 sbcie3s 
 |-  ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / d ]. [. ( Itv ` g ) / i ]. E. f ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
39 eqidd 
 |-  ( n = N -> f = f )
40 oveq2 
 |-  ( n = N -> ( 1 ..^ n ) = ( 1 ..^ N ) )
41 eqidd 
 |-  ( n = N -> P = P )
42 39 40 41 f1eq123d 
 |-  ( n = N -> ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P <-> f : ( 1 ..^ N ) -1-1-> P ) )
43 oveq2 
 |-  ( n = N -> ( 2 ..^ n ) = ( 2 ..^ N ) )
44 43 raleqdv 
 |-  ( n = N -> ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) ) )
45 44 anbi1d 
 |-  ( n = N -> ( ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
46 45 rexbidv 
 |-  ( n = N -> ( E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
47 46 2rexbidv 
 |-  ( n = N -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
48 42 47 anbi12d 
 |-  ( n = N -> ( ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( f : ( 1 ..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
49 48 exbidv 
 |-  ( n = N -> ( E. f ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
50 df-trkgld 
 |-  TarskiGDim>= = { <. g , n >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / d ]. [. ( Itv ` g ) / i ]. E. f ( f : ( 1 ..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2 ..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) }
51 38 49 50 brabg 
 |-  ( ( G e. V /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( G TarskiGDim>= N <-> E. f ( f : ( 1 ..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2 ..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )