Metamath Proof Explorer

Theorem lclkrlem2h

Description: Lemma for lclkr . Eliminate the ( L( E .+ G ) ) e. J hypothesis. (Contributed by NM, 16-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses lclkrlem2f.h 
|- H = ( LHyp ` K )
lclkrlem2f.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lclkrlem2f.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lclkrlem2f.v 
|- V = ( Base ` U )
lclkrlem2f.s 
|- S = ( Scalar ` U )
lclkrlem2f.q 
|- Q = ( 0g ` S )
lclkrlem2f.z 
|- .0. = ( 0g ` U )
lclkrlem2f.a 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
lclkrlem2f.n 
|- N = ( LSpan ` U )
lclkrlem2f.f 
|- F = ( LFnl ` U )
lclkrlem2f.j 
|- J = ( LSHyp ` U )
lclkrlem2f.l 
|- L = ( LKer ` U )
lclkrlem2f.d 
|- D = ( LDual ` U )
lclkrlem2f.p 
|- .+ = ( +g ` D )
lclkrlem2f.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lclkrlem2f.b 
|- ( ph -> B e. ( V \ { .0. } ) )
lclkrlem2f.e 
|- ( ph -> E e. F )
lclkrlem2f.g 
|- ( ph -> G e. F )
lclkrlem2f.le 
|- ( ph -> ( L ` E ) = ( ._|_ ` { X } ) )
lclkrlem2f.lg 
|- ( ph -> ( L ` G ) = ( ._|_ ` { Y } ) )
lclkrlem2f.kb 
|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` B ) = Q )
lclkrlem2f.nx 
|- ( ph -> ( -. X e. ( ._|_ ` { B } ) \/ -. Y e. ( ._|_ ` { B } ) ) )
lclkrlem2h.x 
|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
lclkrlem2h.y 
|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
lclkrlem2h.ne 
|- ( ph -> ( L ` E ) =/= ( L ` G ) )
Assertion lclkrlem2h 
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lclkrlem2f.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 lclkrlem2f.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3 lclkrlem2f.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 lclkrlem2f.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 lclkrlem2f.s 
 |-  S = ( Scalar ` U )
6 lclkrlem2f.q 
 |-  Q = ( 0g ` S )
7 lclkrlem2f.z 
 |-  .0. = ( 0g ` U )
8 lclkrlem2f.a 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
9 lclkrlem2f.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
10 lclkrlem2f.f 
 |-  F = ( LFnl ` U )
11 lclkrlem2f.j 
 |-  J = ( LSHyp ` U )
12 lclkrlem2f.l 
 |-  L = ( LKer ` U )
13 lclkrlem2f.d 
 |-  D = ( LDual ` U )
14 lclkrlem2f.p 
 |-  .+ = ( +g ` D )
15 lclkrlem2f.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
16 lclkrlem2f.b 
 |-  ( ph -> B e. ( V \ { .0. } ) )
17 lclkrlem2f.e 
 |-  ( ph -> E e. F )
18 lclkrlem2f.g 
 |-  ( ph -> G e. F )
19 lclkrlem2f.le 
 |-  ( ph -> ( L ` E ) = ( ._|_ ` { X } ) )
20 lclkrlem2f.lg 
 |-  ( ph -> ( L ` G ) = ( ._|_ ` { Y } ) )
21 lclkrlem2f.kb 
 |-  ( ph -> ( ( E .+ G ) ` B ) = Q )
22 lclkrlem2f.nx 
 |-  ( ph -> ( -. X e. ( ._|_ ` { B } ) \/ -. Y e. ( ._|_ ` { B } ) ) )
23 lclkrlem2h.x 
 |-  ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
24 lclkrlem2h.y 
 |-  ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
25 lclkrlem2h.ne 
 |-  ( ph -> ( L ` E ) =/= ( L ` G ) )
26 15 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
27 16 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> B e. ( V \ { .0. } ) )
28 17 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> E e. F )
29 18 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> G e. F )
30 19 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( L ` E ) = ( ._|_ ` { X } ) )
31 20 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( L ` G ) = ( ._|_ ` { Y } ) )
32 21 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( ( E .+ G ) ` B ) = Q )
33 22 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( -. X e. ( ._|_ ` { B } ) \/ -. Y e. ( ._|_ ` { B } ) ) )
34 23 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
35 24 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
36 25 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( L ` E ) =/= ( L ` G ) )
37 simpr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( L ` ( E .+ G ) ) e. J )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 lclkrlem2g 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )
39 1 3 2 4 15 dochoc1 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V )
40 39 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V )
41 1 3 15 dvhlvec 
 |-  ( ph -> U e. LVec )
42 1 3 15 dvhlmod 
 |-  ( ph -> U e. LMod )
43 10 13 14 42 17 18 ldualvaddcl 
 |-  ( ph -> ( E .+ G ) e. F )
44 4 11 10 12 41 43 lkrshpor 
 |-  ( ph -> ( ( L ` ( E .+ G ) ) e. J \/ ( L ` ( E .+ G ) ) = V ) )
45 44 orcanai 
 |-  ( ( ph /\ -. ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( L ` ( E .+ G ) ) = V )
46 45 fveq2d 
 |-  ( ( ph /\ -. ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( ._|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) = ( ._|_ ` V ) )
47 46 fveq2d 
 |-  ( ( ph /\ -. ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) )
48 40 47 45 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ -. ( L ` ( E .+ G ) ) e. J ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )
49 38 48 pm2.61dan 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )