Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
llnexat.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
llnexat.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
llnexat.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
llnexat.n |
|- N = ( LLines ` K ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) -> K e. HL ) |
6 |
|
simp3 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) -> P e. A ) |
7 |
|
simp2 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) -> X e. N ) |
8 |
5 6 7
|
3jca |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) -> ( K e. HL /\ P e. A /\ X e. N ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( |
10 |
1 9 3 4
|
atcvrlln2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ X e. N ) /\ P .<_ X ) -> P ( |
11 |
8 10
|
sylan |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> P ( |
12 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> K e. HL ) |
13 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> P e. A ) |
14 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
15 |
14 3
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
16 |
13 15
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
17 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> X e. N ) |
18 |
14 4
|
llnbase |
|- ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> X e. ( Base ` K ) ) |
20 |
14 1 2 9 3
|
cvrval3 |
|- ( ( K e. HL /\ P e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( P ( E. q e. A ( -. q .<_ P /\ ( P .\/ q ) = X ) ) ) |
21 |
12 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> ( P ( E. q e. A ( -. q .<_ P /\ ( P .\/ q ) = X ) ) ) |
22 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> K e. HL ) |
23 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> K e. AtLat ) |
25 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> q e. A ) |
26 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> P e. A ) |
27 |
1 3
|
atncmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ q e. A /\ P e. A ) -> ( -. q .<_ P <-> q =/= P ) ) |
28 |
24 25 26 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> ( -. q .<_ P <-> q =/= P ) ) |
29 |
28
|
anbi1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> ( ( -. q .<_ P /\ ( P .\/ q ) = X ) <-> ( q =/= P /\ ( P .\/ q ) = X ) ) ) |
30 |
|
necom |
|- ( q =/= P <-> P =/= q ) |
31 |
|
eqcom |
|- ( ( P .\/ q ) = X <-> X = ( P .\/ q ) ) |
32 |
30 31
|
anbi12i |
|- ( ( q =/= P /\ ( P .\/ q ) = X ) <-> ( P =/= q /\ X = ( P .\/ q ) ) ) |
33 |
29 32
|
bitrdi |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) /\ q e. A ) -> ( ( -. q .<_ P /\ ( P .\/ q ) = X ) <-> ( P =/= q /\ X = ( P .\/ q ) ) ) ) |
34 |
33
|
rexbidva |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> ( E. q e. A ( -. q .<_ P /\ ( P .\/ q ) = X ) <-> E. q e. A ( P =/= q /\ X = ( P .\/ q ) ) ) ) |
35 |
21 34
|
bitrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> ( P ( E. q e. A ( P =/= q /\ X = ( P .\/ q ) ) ) ) |
36 |
11 35
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ P e. A ) /\ P .<_ X ) -> E. q e. A ( P =/= q /\ X = ( P .\/ q ) ) ) |