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Theorem cvrval3

Description: Binary relation expressing Y covers X . (Contributed by NM, 16-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cvrval3.b 
|- B = ( Base ` K )
cvrval3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cvrval3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cvrval3.c 
|- C = (
cvrval3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion cvrval3 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvrval3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cvrval3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cvrval3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cvrval3.c 
 |-  C = (
5 cvrval3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 eqid 
 |-  ( lt ` K ) = ( lt ` K )
7 1 6 4 cvrlt 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X ( lt ` K ) Y )
8 1 2 6 3 4 5 hlrelat3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( lt ` K ) Y ) -> E. p e. A ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
9 7 8 syldan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> E. p e. A ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
10 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> X C ( X .\/ p ) )
11 simp1l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> K e. HL )
12 simp1l2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> X e. B )
13 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> p e. A )
14 1 2 3 4 5 cvr1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ p e. A ) -> ( -. p .<_ X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
15 11 12 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> ( -. p .<_ X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
16 10 15 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> -. p .<_ X )
17 11 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> K e. Lat )
18 1 5 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
19 18 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> p e. B )
20 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ p e. B ) -> ( X .\/ p ) e. B )
21 17 12 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> ( X .\/ p ) e. B )
22 1 6 4 cvrlt 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( X .\/ p ) e. B ) /\ X C ( X .\/ p ) ) -> X ( lt ` K ) ( X .\/ p ) )
23 11 12 21 10 22 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> X ( lt ` K ) ( X .\/ p ) )
24 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> ( X .\/ p ) .<_ Y )
25 hlpos 
 |-  ( K e. HL -> K e. Poset )
26 11 25 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> K e. Poset )
27 simp1l3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> Y e. B )
28 simp1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> X C Y )
29 1 2 6 4 cvrnbtwn2 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .\/ p ) e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X ( lt ` K ) ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) <-> ( X .\/ p ) = Y ) )
30 26 12 27 21 28 29 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> ( ( X ( lt ` K ) ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) <-> ( X .\/ p ) = Y ) )
31 23 24 30 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> ( X .\/ p ) = Y )
32 16 31 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ p e. A /\ ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) -> ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) )
33 32 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( p e. A -> ( ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) -> ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) ) )
34 33 reximdvai 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( E. p e. A ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )
35 9 34 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) )
36 35 ex 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )
37 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> -. p .<_ X )
38 simp11 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> K e. HL )
39 simp12 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> X e. B )
40 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> p e. A )
41 38 39 40 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> ( -. p .<_ X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
42 37 41 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> X C ( X .\/ p ) )
43 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> ( X .\/ p ) = Y )
44 42 43 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) -> X C Y )
45 44 rexlimdv3a 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> X C Y ) )
46 36 45 impbid 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )