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Theorem cvrnbtwn2

Description: The covers relation implies no in-betweenness. ( cvnbtwn2 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses cvrletr.b
|- B = ( Base ` K )
cvrletr.l
|- .<_ = ( le ` K )
cvrletr.s
|- .< = ( lt ` K )
cvrletr.c
|- C = ( 
Assertion cvrnbtwn2
|- ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) <-> Z = Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvrletr.b
 |-  B = ( Base ` K )
2 cvrletr.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cvrletr.s
 |-  .< = ( lt ` K )
4 cvrletr.c
 |-  C = ( 
5 1 3 4 cvrnbtwn
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) )
6 5 3expia
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X C Y -> -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) ) )
7 iman
 |-  ( ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) <-> -. ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) )
8 anass
 |-  ( ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) <-> ( X .< Z /\ ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) ) )
9 simpl
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Poset )
10 simpr3
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
11 simpr2
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
12 2 3 pltval
 |-  ( ( K e. Poset /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .< Y <-> ( Z .<_ Y /\ Z =/= Y ) ) )
13 9 10 11 12 syl3anc
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .< Y <-> ( Z .<_ Y /\ Z =/= Y ) ) )
14 df-ne
 |-  ( Z =/= Y <-> -. Z = Y )
15 14 anbi2i
 |-  ( ( Z .<_ Y /\ Z =/= Y ) <-> ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) )
16 13 15 bitrdi
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .< Y <-> ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) ) )
17 16 anbi2d
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .< Z /\ Z .< Y ) <-> ( X .< Z /\ ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) ) ) )
18 8 17 bitr4id
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) <-> ( X .< Z /\ Z .< Y ) ) )
19 18 notbid
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) <-> -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) ) )
20 7 19 bitr2id
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) <-> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) ) )
21 6 20 sylibd
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X C Y -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) ) )
22 21 3impia
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) )
23 1 3 4 cvrlt
 |-  ( ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X .< Y )
24 23 ex
 |-  ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y -> X .< Y ) )
25 24 3adant3r3
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X C Y -> X .< Y ) )
26 25 3impia
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> X .< Y )
27 breq2
 |-  ( Z = Y -> ( X .< Z <-> X .< Y ) )
28 26 27 syl5ibrcom
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( Z = Y -> X .< Z ) )
29 1 2 posref
 |-  ( ( K e. Poset /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y )
30 29 3ad2antr2
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y .<_ Y )
31 breq1
 |-  ( Z = Y -> ( Z .<_ Y <-> Y .<_ Y ) )
32 30 31 syl5ibrcom
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z = Y -> Z .<_ Y ) )
33 32 3adant3
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( Z = Y -> Z .<_ Y ) )
34 28 33 jcad
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( Z = Y -> ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) ) )
35 22 34 impbid
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) <-> Z = Y ) )