Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lnjat.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
lnjat.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
lnjat.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
lnjat.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
lnjat.n |
|- N = ( Lines ` K ) |
6 |
|
lnjat.m |
|- M = ( pmap ` K ) |
7 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> K e. HL ) |
8 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> X e. B ) |
9 |
|
simprl |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> ( M ` X ) e. N ) |
10 |
1 2 4 5 6
|
lnatexN |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( M ` X ) e. N ) -> E. q e. A ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) |
11 |
7 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> E. q e. A ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) |
12 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> q =/= P ) |
13 |
|
simp1l1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> K e. HL ) |
14 |
|
simp1l2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> X e. B ) |
15 |
|
simp1rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> ( M ` X ) e. N ) |
16 |
|
simp1l3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> P e. A ) |
17 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> q e. A ) |
18 |
12
|
necomd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> P =/= q ) |
19 |
|
simp1rr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> P .<_ X ) |
20 |
|
simp3r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> q .<_ X ) |
21 |
1 2 3 4 5 6
|
lneq2at |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( M ` X ) e. N ) /\ ( P e. A /\ q e. A /\ P =/= q ) /\ ( P .<_ X /\ q .<_ X ) ) -> X = ( P .\/ q ) ) |
22 |
13 14 15 16 17 18 19 20 21
|
syl332anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> X = ( P .\/ q ) ) |
23 |
12 22
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q .<_ X ) ) -> ( q =/= P /\ X = ( P .\/ q ) ) ) |
24 |
23
|
3exp |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> ( q e. A -> ( ( q =/= P /\ q .<_ X ) -> ( q =/= P /\ X = ( P .\/ q ) ) ) ) ) |
25 |
24
|
reximdvai |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> ( E. q e. A ( q =/= P /\ q .<_ X ) -> E. q e. A ( q =/= P /\ X = ( P .\/ q ) ) ) ) |
26 |
11 25
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ P .<_ X ) ) -> E. q e. A ( q =/= P /\ X = ( P .\/ q ) ) ) |