Theorem lnjatN

Description: Given an atom in a line, there is another atom which when joined equals the line. (Contributed by NM, 30-Apr-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	lnjat.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	lnjat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	lnjat.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	lnjat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	lnjat.n	⊢ 𝑁 = ( Lines ‘ 𝐾 )
	lnjat.m	⊢ 𝑀 = ( pmap ‘ 𝐾 )
Assertion	lnjatN	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnjat.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		lnjat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		lnjat.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		lnjat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		lnjat.n	⊢ 𝑁 = ( Lines ‘ 𝐾 )
6		lnjat.m	⊢ 𝑀 = ( pmap ‘ 𝐾 )
7		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
9		simprl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 )
10	1 2 4 5 6	lnatexN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) )
11	7 8 9 10	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) )
12		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑞 ≠ 𝑃 )
13		simp1l1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
14		simp1l2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
15		simp1rl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 )
16		simp1l3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
17		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
18	12	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑞 )
19		simp1rr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑃 ≤ 𝑋 )
20		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑞 ≤ 𝑋 )
21	1 2 3 4 5 6	lneq2at	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) )
22	13 14 15 16 17 18 19 20 21	syl332anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) )
23	12 22	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) )
24	23	3exp	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) ) )
25	24	reximdvai	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) )
26	11 25	mpd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) )