Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lncvrelat.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
lncvrelat.c |
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
lncvrelat.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
lncvrelat.n |
⊢ 𝑁 = ( Lines ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
lncvrelat.m |
⊢ 𝑀 = ( pmap ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
hllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
9 |
8 3 4 5
|
isline2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ Lat → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) ) ) |
11 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
12 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
13 |
11 6
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
14 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝑞 ∈ 𝐴 ) |
15 |
1 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵 ) |
16 |
14 15
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝑞 ∈ 𝐵 ) |
17 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝑟 ∈ 𝐴 ) |
18 |
1 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵 ) |
19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝑟 ∈ 𝐵 ) |
20 |
1 8
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ∈ 𝐵 ) |
21 |
13 16 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
1 5
|
pmap11 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) |
23 |
11 12 21 22
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) |
24 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) → ( 𝑃 𝐶 𝑋 ↔ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) |
25 |
24
|
biimpd |
⊢ ( 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) → ( 𝑃 𝐶 𝑋 → 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) |
26 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
27 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
28 |
27 14 17
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) |
30 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → 𝑞 ≠ 𝑟 ) |
31 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) |
32 |
1 8 2 3
|
cvrat2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
33 |
26 29 30 31 32
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) ∧ 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
34 |
33
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) |
35 |
25 34
|
syl9r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) → ( 𝑃 𝐶 𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) ) |
36 |
23 35
|
sylbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → ( 𝑃 𝐶 𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) ) |
37 |
36
|
expimpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → ( 𝑃 𝐶 𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) ) |
38 |
37
|
rexlimdvva |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → ( 𝑃 𝐶 𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) ) |
39 |
10 38
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 → ( 𝑃 𝐶 𝑋 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) ) |
40 |
39
|
imp32 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 𝐶 𝑋 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |