Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lplnexat.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
lplnexat.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
lplnexat.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
lplnexat.n |
|- N = ( LLines ` K ) |
5 |
|
lplnexat.p |
|- P = ( LPlanes ` K ) |
6 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) -> K e. HL ) |
7 |
|
simp3 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) -> Y e. N ) |
8 |
|
simp2 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) -> X e. P ) |
9 |
6 7 8
|
3jca |
|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) -> ( K e. HL /\ Y e. N /\ X e. P ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( |
11 |
1 10 4 5
|
llncvrlpln2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ Y e. N /\ X e. P ) /\ Y .<_ X ) -> Y ( |
12 |
9 11
|
sylan |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> Y ( |
13 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> K e. HL ) |
14 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> Y e. N ) |
15 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
16 |
15 4
|
llnbase |
|- ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) ) |
17 |
14 16
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> Y e. ( Base ` K ) ) |
18 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> X e. P ) |
19 |
15 5
|
lplnbase |
|- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> X e. ( Base ` K ) ) |
21 |
15 1 2 10 3
|
cvrval3 |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( Y ( E. q e. A ( -. q .<_ Y /\ ( Y .\/ q ) = X ) ) ) |
22 |
13 17 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y ( E. q e. A ( -. q .<_ Y /\ ( Y .\/ q ) = X ) ) ) |
23 |
|
eqcom |
|- ( ( Y .\/ q ) = X <-> X = ( Y .\/ q ) ) |
24 |
23
|
anbi2i |
|- ( ( -. q .<_ Y /\ ( Y .\/ q ) = X ) <-> ( -. q .<_ Y /\ X = ( Y .\/ q ) ) ) |
25 |
24
|
rexbii |
|- ( E. q e. A ( -. q .<_ Y /\ ( Y .\/ q ) = X ) <-> E. q e. A ( -. q .<_ Y /\ X = ( Y .\/ q ) ) ) |
26 |
22 25
|
bitrdi |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y ( E. q e. A ( -. q .<_ Y /\ X = ( Y .\/ q ) ) ) ) |
27 |
12 26
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. N ) /\ Y .<_ X ) -> E. q e. A ( -. q .<_ Y /\ X = ( Y .\/ q ) ) ) |